Problema de flujo de Ricci

Question

En la página 12 de las "Conferencias Sobre el Flujo de Ricci" por Pedro Topping está escrito:

En dos dimensiones, sabemos que la curvatura de Ricci puede ser escrito en términos de la curvatura de Gauss $K$$Ric(g) = Kg$. Trabajando directamente desde el la ecuación de $\frac{\partial g}{\partial t}=-2Ric(g) $, vemos que las regiones en que $K < 0$ tienden a expandirse, y regiones donde $K > 0$ tienden a disminuir.

¿Alguien puede resolver Flujo de Ricci PDE en este caso, se muestran las regiones en que $K < 0$ tienden a expandirse, y regiones donde $K > 0$ tienden a encoger?

gracias

Answer 1

Sustituyendo $Ric=Kg$ en el flujo de Ricci ecuación obtenemos $\dot g = -2Kg$ donde $\dot g$ es el tiempo derivado de la $g$. Desde $K$ es un escalar, esta ecuación simplemente significa que cada componente de $g$ satisface la misma ecuación (considerando $g$ como una matriz): $\dot g_{ik}=Kg_{ik}$ donde $i,k=1,2$. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad suponiendo que $g$ es una matriz diagonal, si $K<0$$\dot g_{ii}>0$, lo que significa que la longitud de un vector, decir $v$, crecerá durante un corto período de tiempo de al menos (más precisamente, el tiempo derivado de la longitud de ser positivo).

Answer 2

Tener una mirada en el papel de Un ejemplo de neckpinching para el flujo de Ricci en $S^{n+1}$ por S. Angenent y D. Knopf.

De acuerdo a la revisión realizada por Peng, Lu,

Los autores construyen una clase de los indicadores iniciales en $S^{n+1}$, de modo que el correspondiente flujo de Ricci soluciones de desarrollar cuello pellizcos en singular tiempo $T$. La singularidad es de Tipo I en el sentido de Hamilton, y la longitud del cuello, donde el tensor de curvatura $\vert Rm\vert\sim(T-t)^{-1}$, es acotado, desde abajo, por $c\sqrt{(T-t)\cdot\vert\log(T-t)\vert}$ para algunas constantes $c>0$.