Hola me pidió un amigo de un niño que está en la escuela intermedia porqué $e^{i\pi}+1=0$. Ahora no podía pensar en una forma de explicarlo para que él pudiera entender. Albert Einstein dijo una vez: "Si no puedes explicarlo simplemente, no lo entiendo bastante bien" así que, ¿cómo iba yo a explicar.
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Si los estudiantes de secundaria no saben cálculo, él sólo va a tener que tomar su palabra de que $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$. En el mejor de los casos, podría tratar de mostrarle la prueba con límites (que creo que es mucho más satisfactorio que el poder de la serie de la prueba, especialmente con las fotos), pero puede ser el mejor momento para pedirle a esta parte en la fe.
La idea del plano complejo, no es demasiado difícil de explicar, aunque. Cada número complejo tiene una parte real y una "$i$ parte," así que usted puede poner un punto que representa un número complejo $z$ entre los dos ejes de mostrar "reales" y "¿cuánto $i$" $z$ ha. Entonces, asumiendo que él sabe lo $\sin$$\cos$, puede mostrarle cómo usted puede escribir cada número complejo en coordenadas polares mediante la sustitución y ampliación de: $$|z|e^{i\theta}=|z|\cos{\theta}+i|z|\sin{\theta}$$ Drawing a triangle to $z$ desde el origen y haciendo hincapié en que los lados corresponden a los que se solidifican este.
Si él entiende que debe ser completamente claro por qué el $-1=e^{i\pi}$ identidad obras. (Puede que tenga que explicar por qué $\cos\pi=-1$, pero no creo que es difícil. $\pi$ es sólo la mitad del $2\pi$, la circunferencia de un círculo). Mostrando lo $e^{i\pi/2}=i$ $e^{i3\pi/2}=-i$ apoyaría esto y darle un par de identidades que no son tan bien conocidos.
Si él no sabe lo $\sin$$\cos$, a pesar de que, probablemente vas a tener que dejarlo ir. Eso es mucho para aprender en una sentada, y yo realmente no creo que hay una manera más simple, honesta manera de enseñar a alguien el significado de la identidad. Esto está bien. Aunque puede ser difícil de aceptar, hay algunas cosas que simplemente tome un fondo demasiado grande para ser explicada a un laico. (Albert Einstein, por cierto, también dijo, "Si me podría explicar a la persona promedio, no habría valido la pena el Premio Nobel.") Creo que en matemáticas las cosas tienen una tendencia a parecer muy fácil una vez que usted ya ha aprendido de ellos, pero es importante tener en cuenta lo difícil y lo imposible que parecía de antemano a la hora de explicar las cosas a la gente.
goblin
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No mistificar.
Definir complejo exponenciación $\exp : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ a través de la potencia de la serie, a continuación, mostrar que $\exp(i\theta) = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$, también por el poder de la serie.
Señalar que los números complejos pueden ser vistos como puntos en el plano, por lo que en cierto sentido se sostiene que $\exp(i\theta) = (\cos \theta, \sin\theta).$
A continuación, dibuje un Argand'diagrama, de manera que es claro que como $\theta$ varía entre el$0$$2\pi$, la expresión $\exp(i\theta)$ barre una revolución completa de la unidad de círculo.
Veamos entonces los valores de $\theta$ que son especialmente interesantes. $2\pi,\pi,\pi/2$ etc. Trabajar de lo $\exp(i\theta)$ es igual a ($\theta)$ sólo en el diagrama.
Edit: mejor Aún, en lugar de utilizar $\pi$, el uso de $\tau=2\pi$, lo cual es en cierto sentido más útil, ya que corresponde a una revolución completa. Así que tal vez considerar los casos $\theta = \tau$, $\theta = \tau/2$ y $\theta=\tau/4$.
Mike Walsh
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willw
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@Gruber: puede justificar $e^{it} = \cos t + i \sin t$ como sigue.
Deje $i$ ser la entidad que satisface $i^2 = -1$. A continuación, $f(t) := \cos t + i \sin t$ tiene la propiedad de $f'(t) = i f(t)$. Integrar a $\frac{f'(t)}{f(t)} = i$ $0$ $t$conseguir $\ln f(t) - \ln f(0) = i t$. Desde $f(0) = 1$,$f(t) = e^{i t}$. A partir de ahí, $e^{i \pi} = -1$!
