Dejemos que $T: \mathbb{R}^3→\mathbb{R}^3$ sea una transformación lineal. Demuestre que existe una línea $L$ tal que $T(L) = L$ .

Question

Dejemos que $T: \mathbb{R}^3\mathbb{R}^3$ sea una transformación lineal. Demuestre que existe una línea $L$ tal que $T(L) = L$ .

---

Estoy totalmente atascado en él. ¿Cómo puedo ser capaz de resolver este problema?

Answer 1

Si no has estudiado la teoría general de los vectores y valores propios, ten en cuenta estos hechos:

1. Toda transformación lineal de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ puede describirse como $T(X)=AX$ , donde $A$ es un $m\times n$ matriz. En su caso, se trata de una $3\times 3$ matriz.

2. Para una transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ con la correspondiente matriz $A$ son condiciones equivalentes:

(a) Hay una línea $L$ (que pasa por el origen) tal que $T(L)=L$

(b) Para algún vector no nulo $X$ en $L$ , $T(X)$ es un múltiplo no nulo de $X$ es decir, hay un número real no nulo $\lambda$ tal que $T(X)=\lambda X$

(c) Para algún número real no nulo $\lambda$ el sistema homogéneo $(A-\lambda I)X=0$ tiene una solución no trivial.

(d) Para algún número real no nulo $\lambda,\ \det (A-\lambda I)=0$

Ahora, en el $3\times 3$ el polinomio en $\lambda$ (llamado polinomio característico de $A$ ) definida como $\det(A-\lambda I)$ tiene necesariamente una raíz real, pero, ¿y si sólo tiene una raíz real y es cero? En este caso no puede existir una línea $L$ tal que $T(L)=L$ .

Tomemos como ejemplo la matriz: $$A= \begin {pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Entonces $\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-\lambda$ , que tiene raíces $0,i,-i$ por lo que en este caso la transformación lineal correspondiente: $$T(x,y,z)=(0,-z,y) $$ no puede enviar una línea $L$ en sí mismo.