Coordenadas del centro del círculo

Question

Estoy atrapado en este problema:

Si el % de líneas $y=x+\sqrt{2}$y $y=x-2\sqrt{2}$ son dos tangentes de un círculo y $(0,\sqrt{2})$ encuentra en este círculo entonces ¿cuál es la ecuación del círculo?

Encontré la distancia entre la dos tangentes $y=x+\sqrt{2}$ y $y=x-2\sqrt{2}$ es $3$. El radio es $3/2$ pero no sé cómo encontrar el centro. Intenté formar las ecuaciones pero no podría tener éxito. Por favor me diga la forma más sencilla. Gracias

Answer 1

Sugerencias:

Ya que $\;(0,\,\sqrt2)\;$ es en el círculo y en una de las líneas (¿por qué y qué línea?), la línea debe ser perpendicular al radio del círculo en este punto (¿por qué?), por lo que el centro del círculo está en la línea

$$y-\sqrt2=-(x-0)\implies y=-x+\sqrt2$$

Desde la segunda línea dada es paralela a uno dado (¿por qué?), estos dos son tangente al punto del círculo en los extremos de un diámetro (¿por qué?).

Finalizar el ejercicio ahora.

Answer 2

Asumir el centro a (a, b). Escribe la ecuación general del círculo $(x-a)^2+(y-b)^2=(3/2)^2$ y sustituir el punto $(0, \sqrt{2})$. Se trata de la primera ecuación.

También es cierto que el punto (a, b) se encuentra en la línea de $y = x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Sustituto para 'a' y 'b'. Se trata de la segunda ecuación.

Ahora tienes dos ecuaciones y dos incógnitas. ¡ resolverlo!