Supongamos que $M$ es un monoid comutativo y que el producto $P$ $M$ y el % de no negativo números enteros $\mathbb{N}$con adición no tiene automorphisms no triviales. El conjunto de $S$ de pares $(m,n)$ $P$ $n>0$ es cerrado bajo adición. ¿$S$ Puede hacer un automorfismo no trivial?
Respuesta
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user2360363
Puntos
61
La respuesta es no, aquí están los pasos en la prueba (los detalles se dejan para usted):
- muestran que cada automorfismo $\phi$ $M$ induce un automorphism $\overline{\phi}$ $M\times \mathbb{N}$
- deducir que $\operatorname{Aut}(M)$ es trivial
- demostrar que si $\phi\in \operatorname{Aut}(M\times \mathbb{N}\setminus \{0\})$, entonces el $\phi$ mapas $\{(m,n):m\in M\}$ a sí mismo cada $n\in \mathbb{N}$
- la conclusión de que $\phi$ es trivial.
