El producto del tensor de un paquete de línea real sí es trivial, como se ve fácilmente mirando las funciones de transición o comprobar la clase de Stiefel-Whitney. Línea real paquetes se clasifican por el % de espacio $\mathbb{R}P^\infty$, y hay un mapa $\mathbb{R}P^\infty\times\mathbb{R}P^\infty\overset{\mu}{\to}\mathbb{R}P^\infty$ correspondiente a producto del tensor. Por lo tanto debemos esperar que el mapa compuesto $\mathbb{R}P^\infty\overset{\Delta}{\to}\mathbb{R}P^\infty\times\mathbb{R}P^\infty\overset{\mu}{\to}\mathbb{R}P^\infty$ ser nullhomotopic, donde el primer mapa es la diagonal. ¿Hay una manera de ver esto directamente? ¿Existe una descripción explícita de $\mu$ como un mapa de espacio proyectivo?
Respuesta
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(Un representante) $\mu$ es el "infinito Segre incrustar"
$$(x_0 : x_1 : \dots) \times (y_0 : y_1 : \dots) \mapsto (x_0 y_0 : x_0 y_1 : x_1 y_0 : \dots)$$
por lo que la composición con la diagonal es el "infinito Veronese incrustar"
$$(x_0 : x_1 : \dots) \mapsto (x_0^2 : x_0 x_1 : x_1 x_0 : x_1^2 : \dots).$$
Una explícita nullhomotopy de este mapa con el mapa de valor constante $(1 : 0 : \dots)$ está dado por
$$t \times (x_0 : x_1 : \dots) \mapsto \left( x_0^2 + t (1 - x_0^2) : x_0 x_1 (1 - t) : x_1 x_0 (1 - t) : \dots \right).$$
La razón por la que esto funciona es solo que siempre tenemos $x_0^2 \ge 0$, y además al menos uno de $x_0^2, x_1^2, \dots$ es distinto de cero. El subespacio de $\mathbb{RP}^{\infty}$ donde cualquier coordinar siempre es positivo es contráctiles, siendo una copia de $\mathbb{R}^{\infty}$, y en este caso podemos tomar $x_0^2 + x_1^2 + \dots$ a ser el de coordenadas (me refiero a la suma de las coordenadas con las entradas en él; esperemos que esto está claro). En orden para un mapa a $\mathbb{RP}^{\infty}$ a no ser nullhomotopic debe tener la propiedad de que cada coordinar toma el valor de $0$ al menos una vez.
