Estoy ayudando a un amigo a desarrollar un curso de álgebra abstracta que está diseñado para los estudiantes de escuela secundaria que no tienen conocimiento de álgebra abstracta o cualquier real de la exposición formalmente riguroso de las matemáticas. Para motivar el estudio, estamos en busca de problemas cuya declaración será inmediatamente accesible a los estudiantes, pero cuya solución es ayudado por herramientas básicas de la teoría de grupos. Así que mi pregunta es esta:
¿Cuáles son algunos problemas interesantes, cuyas declaraciones son comprensibles para un promedio de 9 o 10 grado estudiante de la escuela secundaria, pero cuyas soluciones son de gran ayuda por grupo de teoría?
Aquí es el mejor tipo de ejemplo que he pensado hasta ahora para lo que estamos buscando:
- De cuántas formas distintas hay de 2 de color de los 8 vértices de un cubo, con colorantes sólo se considera distinta a la rotación?
El problema es muy complicado directa de la enumeración (¿cómo sabes cuando estás hecho?) pero se somete a un doble método de recuento basado en la órbita-estabilizador teorema.
Esto es perfecto porque la pregunta es natural, y los niños podrían empezar por enumeración directa; pero la teoría de grupos que realmente aporta una gran cantidad de energía. También, el tipo de grupo de teoría necesaria está en el nivel adecuado: del teorema de Lagrange y su corolario de la órbita-estabilizador teorema. Estos son importantes piezas de la teoría, pero son realistas para llegar a este valor. Los problemas que tienen solución por la computación en algún grupo específico (por ejemplo, se puede obtener una línea de personas en un orden arbitrario al cambiar a 2 a la vez?) también son útiles para nosotros, pero va a hacer menos para motivar a la teoría. Mientras tanto, los problemas que implican más pesado de la teoría (por ejemplo, los teoremas de Sylow) va a ser difícil de utilizar porque no es realista plan en el desarrollo de esta teoría en el (1-semestre, y la lentitud de b/c para los estudiantes de escuela secundaria).
Me pueden ayudar lluvia de ideas preguntas de este tipo? Muchas gracias.
Actualización (1/16): Estas respuestas son de gran ayuda, y mi amigo también puede usar ellos. Estoy esperando algo más, aunque! Específicamente, estoy esperando por más problemas que requieren una pequeña cantidad de) grupo teoría y no sólo un cálculo en algún grupo específico, porque la idea es utilizar a los problemas para motivar a la teoría. Por ejemplo, el de Futurama problema es adorable (y por lo tanto ideal para HS estudiantes!), pero parece ser casi un cálculo en . El colchón problema es un poco más de lo que estoy hablando aquí, porque la concesión de la solución implica conceptos centrales de la teoría como cíclica de los grupos, y el teorema (grantedly menor, pero sigue siendo un teorema) que cíclico grupos tienen más de un elemento de orden 2.
Lo ideal es que la solución al problema consiste en la invocación de un importante y no muy duro teorema de teoría de grupos. Ejemplos de los tipos de conceptos y teoremas me gustaría idealmente como ver utilizados:
Subgrupos, homomorphisms, normal subgrupos, los cocientes
El teorema de Lagrange / la órbita-estabilizador teorema (esta es la virtud de la cubo-colorear enumeración problema)
El primer teorema de isomorfismo
Hechos básicos acerca de las acciones: el estabilizador es un subgrupo; estabilizadores de los objetos en la misma órbita se conjugado; etc.
Las ideas más gente? Gracias de nuevo.
