La suma de dos variables aleatorias gamma independientes

Question

Según el artículo de Wikipedia sobre la distribución Gamma:

Si $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ y $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$, donde $X$ e $Y$ son variables aleatorias independientes, entonces $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$.

Pero no veo ninguna prueba. ¿Alguien puede señalarme su prueba por favor?

Editar: Gracias a Zen mucho, y también encontré la respuesta como un ejemplo en la página de Wikipedia sobre funciones características.

Answer 1

Aquí hay una respuesta que no necesita usar funciones características, sino que refuerza algunas ideas que tienen otros usos en estadística. La densidad de la suma de variables aleatorias independientes es la convolución de las densidades. Entonces, tomando $\theta = 1$ para facilitar la exposición, tenemos para $z > 0$, $$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{sustituimos ahora}}~ x = zt~ \text{y pensamos}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{de la Beta}}(a,b)~\text{variables aleatorias}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$$

Answer 2

La prueba es la siguiente: (1) Recuerda que la función característica de la suma de variables aleatorias independientes es el producto de sus funciones características individuales; (2) Obtén la función característica de una variable aleatoria gamma aquí; (3) Realiza la simple álgebra.

Para tener algo de intuición más allá de este argumento algebraico, revisa el comentario de whuber.

Nota: El autor preguntó cómo calcular la función característica de una variable aleatoria gamma. Si $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$, entonces (puedes tratar a $i$ como una constante ordinaria, en este caso)

$$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$$

Ahora usa el consejo de Huber: Si $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$, entonces $Y=X_1+\dots+X_k$, donde los $X_i$ son independientes $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$. Por lo tanto, usando la propiedad (1), tenemos $$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$$

Consejo: no aprenderás estas cosas mirando los resultados y pruebas: mantente hambriento, calcula todo, intenta encontrar tus propias pruebas. Incluso si fallas, tu aprecio por la respuesta de otra persona estará a un nivel mucho más alto. Y, sí, fallar está bien: ¡nadie está mirando! La única forma de aprender matemáticas es luchando por cada concepto y resultado.

Answer 3

En un nivel más heurístico: Si $a$ y $b$ son enteros, la distribución Gamma es una distribución Erlang, por lo que $X$ e $Y$ describen los tiempos de espera para respectivamente $a$ y $b$ ocurrencias en un proceso de Poisson con tasa $\theta$. Los dos tiempos de espera $X$ e $Y$ son

1. independientes
2. suman un tiempo de espera para $a+b$ ocurrencias

y el tiempo de espera para $a+b$ ocurrencias está distribuido Gamma($a+b,\theta$).

Ninguna de estas es una prueba matemática, pero le da cuerpo a la conexión, y puede ser usado si se desea desarrollarlo en una demostración matemática.