Si un % primer $p\mid ab$, entonces el $p\mid a$ o $p\mid b$

Question

Si un primer número $p$ es un divisor del producto $ab$, $p$ tiene que ser un divisor de $b$ o $a$. ¿Cómo puedo demostrar este teorema? Demostró este teorema en una forma aplicando el teorema de Bezout en una respuesta más abajo , pero existen otras pruebas??

Answer 1

El conjunto $\,S\,$ de productos naturales $\,n\,$ tal que $\,\color{#c00}{p\mid nb}\,$$\rm\overbrace{closed\ under\ subtraction}^{\overbrace{\large p\mid nb,kb\,\Rightarrow\, p\mid nb-kb\, =\, (n-k)b}^{\LARGE n,\,k\ \in\ S\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ n-k\ \in\ S\ \ }}$$\, a,p\in S\,$, por lo que por el Lema lo menos su elemento positivo $\,\color{#0a0}{d\mid a,p}.\,$ Desde $\,\color{#a0f}{d\mid p\ \ \rm prime},\,$ $\,\color{#a0f}{d=p}\,$ (por lo $\ \color{#a0f}{p = }\color{#0a0}{d\mid a}),\,$ o $\,\color{#a0f}{d=1}\in S\ $ (por lo $\ \color{#c00}{p\mid d b = b}),\ $ es decir $\,\ p\mid \color{}a\,$ o $\ p\mid \color{}b.\ \ $ QED

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Lema $\ \ $ Deje $\,\rm S\ne\emptyset \,$ ser un conjunto de números enteros $>0$ cerrado bajo la resta $> 0,\,$ es decir, para todos $\rm\,n,m\in S, \,$ $\rm\ n > m\ \Rightarrow\ n-m\, \in\, S.\,$ a Continuación, el menos $\rm\:\ell\in S\,$ divide cada elemento de a $\,\rm S.$

Prueba de ${\bf\ 1}\,\ $ Si no hay un mínimo de nonmultiple $\rm\,n\in S,\,$ contra $\rm\,n-\ell \in S\,$ es un nonmultiple de $\rm\,\ell.$

Prueba de ${\bf\ 2}\,\rm\,\ \ S\,$ cerrado bajo la resta $\rm\,\Rightarrow\,S\,$ cerrado bajo resto (mod), cuando es $\ne 0,$ porque el mod es simplemente resta repetida, es decir,$\rm\, a\ mod\ b\, =\, a - k b\, =\, a-b-b-\cdots -b.\,$, con Lo que $\rm\,n\in S\,$ $\Rightarrow$ $\rm\, (n\ mod\ \ell) = 0,\,$ otra cosa es $\rm\,\in S\,$ y menor que $\rm\,\ell,\,$ contra mimimality de $\rm\,\ell.$

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Comentario $\ $ , En pocas palabras, dos aplicaciones de la inducción producen los siguientes inferencias

$ \rm\begin{eqnarray} S\ closed\ under\ {\bf subtraction} &\:\Rightarrow\:&\rm S\ closed\ under\ {\bf mod} = remainder = repeated\ subtraction \\ &\:\Rightarrow\:&\rm S\ closed\ under\ {\bf gcd} = repeated\ mod\ (Euclid's\ algorithm) \end{eqnarray}$

Si las fracciones son lo sabe, $\,S\,$ puede ser interpretada como el conjunto de todas las posibles denominadores de $\,b/p,\,$ desde $\,ap = nb \iff a/n = b/p.\,$ Ver varios puestos en los denominadores ideales para más.

Interpretado de forma constructiva, esto produce que el algoritmo de Euclides extendido por el mcd.

El Lema describe una propiedad fundamental de número natural aritmética cuya esencia se hacen más evidentes cuando uno estudia los ideales de anillos (viz. $\,\Bbb Z\,$ es la Euclídea $\Rightarrow$ PID).

Answer 2

Aquí está uno, que utiliza sólo euclidiana de la división y el orden en $\mathbf N$:

Vamos $E = \bigl\{x ∈ \mathbf N^{\boldsymbol *} \mid p\enspace \text{divides}\enspace xb\}$ . $E$ no está vacío, ya que contiene al menos $p\,$$\,a $.Por lo tanto contiene un elemento más pequeño, $x_0$.

Este elemento se divide cada una de las $x\in E$: de hecho, la distancia euclídea de la división de $x$ $x_0$ le da: $\,x = qx_0 + r\enspace(0 ≤ r < x_0)$. Como $x, x_0$ están en $E$, $p$ divide $xb$$x_0b$, por lo tanto $(x-qx_0)b =rb$. Por lo tanto, si $r\neq 0$, $r\in E$. Esto es imposible, ya que $x_0$ es el más pequeño elemento en $E$. Por lo $r = 0$ es decir $\,x_0$ divide $x$.

En particular, $x_0$ divide $p$ et $a $, que pertenecen a $E$ ; $p$ $a $ son coprime, $x_0 = 1$. Por lo tanto, $p$ divide $x_0 b = b$.

Answer 3

Demostró este teorema poco a través de Teorema de Bézout: Si un primer número $p$ no es un divisor de $a$, $(a,p)=1$ porque son de los únicos divisores de $p$ $p$ y $1$. Entonces hay dos números $k$ y $l$ tal que: $1=ka+lp$. Multiplicando esta igualdad por $b$ obtenemos: $b=kab+lpb$ pero si $p$ es un divisor de $ab$: $ab=pr$ $r\in \mathbb{Z}$ y $b=kpr+lpb=p(kr+lb)$. De esta relación podemos observar que $p$ es un divisor de $b$. ¿Hay otras manifestaciones?? ¡Ayúdame!

Answer 4

Si $p\not\mid a$, entonces $\gcd (p,a)=1$ (¿por qué?). Desde $p\mid ab$ $\gcd (p,a)=1$, el lema de Euclides implica que $p\mid b$.

Answer 5

Edit: leí los comentarios, este no puede ser usado para demostrar lo que el OP pregunta, en la forma en que él le pide a ella (pero puede ser usado para demostrar que irreducible $\Leftrightarrow$ prime en Ufd)

Respuesta Original:

Otra prueba podría ser el siguiente. Usted sabe que $a$ $b$ factorizar de forma exclusiva (guardar múltiplos por $\pm 1$) $$a = p_1\cdots p_r \\ b = p'_1\cdots p'_s$$ Por la divisibilidad hipótesis, decir que $px = ab$, y de nuevo factorizar $x$: $$x = p''_1\cdots p''_t$$

Entonces, por la expansión de $px = ab$ $$pp''_1\cdots p''_t = p_1\cdots p_rp'_1\cdots p'_s$$ Esta es una igualdad entre el primer factorizations, así que debe ser que cada uno de los factores primos en el lado derecho de dividir un cierto prime sobre el lado izquierdo. En particular, $p$ divide un determinado $p_i$, o un cierto $p'_j$. Esto concluye la prueba.

Esto no es a primera vista una mejora de su propia prueba. De hecho, parece más complicado. Sin embargo, es conveniente saber que esta prueba, ya que no se basa en la existencia de la identidad de Bézout, y pueden ser transportadas directamente a contextos más generales.