$\mu(E\setminus (E+x))=0$ % todos $x\in\mathbb{R}$. Demostrar que $\mu(E)=0$ o $\mu(\mathbb{R}\setminus E)=0$

Question

Estoy preparándome para el mini-examen de teoría de la medida mediante la resolución de problemas por parte del profesor, notas y me he encontrado con algunas dificultades que no puedo superar. Le agradecería si pudiera resolver el siguiente (o si usted me podría dar alguna enorme sugerencias de al menos):

Deje $\mu$ ser la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ y deje $E$ ser un subconjunto de Borel $\mathbb{R}$ tal que $$\mu(E\setminus (E+x))=0$$ for any $x\in\mathbb{R}$, where $E+x=\{z+x\a mediados de z\E\}$. Prove that $\mu(E)=0$ or $\mu(\mathbb{R}\setminus E)=0$.

Sé que $\mu(E)=\mu(E+x)$ y supongo que tengo que probar la declaración suponiendo lo contrario, pero yo realmente no sé cómo. Gracias de antemano!

Answer 1

Si $\mu(E) \not=0$ y $\mu(E^c) \not=0$ (aquí $E^c = \mathbb R \setminus E$), podemos elegir intervalos $I$ y $J$ tal que $\mu(I\cap E) \geq (3/4) \mu(I)$ y $\mu(J\cap E^c) \geq (3/4) \mu(J)$. Por la reducción de o $I$ o $J$ si es necesario, podemos tomar $\mu(I) = \mu(J)$, es decir, $I$ y $J$ tienen la misma longitud. Luego podemos elegir $x$ tal que $J+x = I$. Pero es un subconjunto de $I \cap E \cap (E^c + x)$ $E\cap (E^c +x) = E\setminus (E+x)$, y tenemos

$$\mu(I \cap E \cap (E^c + x)) \geq \mu(I \cap E) + \mu(I \cap (E^c + x)) - \mu(I) ,$$

Teoría de conjunto elemental y desde $I\supset (I \cap E) \cup(I \cap (E^c + x))$. Tenemos $\mu(I\cap (E^c + x)) = \mu(J\cap E^c)$ y así

$$\mu(I \cap E \cap (E^c + x)) \geq (3/4) \mu(I) + (3/4)\mu(I) - \mu(I) = (1/2)\mu(I) > 0 .$$

Así $E\setminus (E+x)$ tiene medida positiva.

Answer 2

Me gustaría dar otra prueba de que he encontrado recientemente después de ser dicho para hacer uso del teorema de Fubini.

Desde $\mu(E\setminus E+x)=0$ % todo $x\in\mathbb{R}$, tenemos $$ \begin{align} 0=\int\limits_{\mathbb{R}}\mu(E\setminus (E+x))\,\text{d}\mu(x)=&\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_{E\setminus (E+x)}(s)\, \text{d}\mu(s)\,\text{d}\mu(x)\\=&\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_E(s)\left(1-\chi_{E+x}(s)\right)\,\text{d}\mu(s)\,\text{d}\mu(x)\\=&\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{\mathbb{R}} \chi_E(s)\left(1-\chi_{E+x}(s)\right)\,\text{d}\mu(x)\,\text{d}\mu(s)\\=&\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_E(s)\left(\int\limits_{\mathbb{R}}\left(1-\chi_{E-s}(x)\right)\,\text{d}\mu(x)\right)\,\text{d}\mu(s)\\=&\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_E(s)\left(\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_{(E-s)^c}(x)\,\text{d}\mu(x)\right)\,\text{d}\mu(s)=\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_E(s)\mu\left((E-s)^c\right)\,\text{d}\mu(s)\\=&\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_E(s)\mu\left(E^c\right)\,\text{d}\mu(s)=\mu\left(E^c\right)\int\limits_{\mathbb{R}}\chi_E(s)\,\text{d}\mu(s)=\mu(E^c)\mu(E). \end{Alinee el} por lo tanto $$ o $\mu(E)$ $\mu(\mathbb{R}\setminus E)$ $0$ es.
Observe que hemos utilizado el teorema de Fubini solamente una vez mientras se cambia el orden de integración en igualdad de condiciones no. 4. La octava igualdad sigue de la invariación de la traducción de medida de Lebesgue.