topologías de local self-similar

Question

Llame a una topología localmente auto-similares" si se tiene una base en la que cada conjunto abierto es homeomórficos en todo el espacio. Lo topologías tienen esta propiedad?

Hasta el momento, tengo la siguiente lista:

• Cualquier conjunto con la topología indiscreta (todo el espacio es el único barrio de cualquier punto).
• Los números reales.
• Los números racionales (como un subespacio de los números reales).
• Probablemente el conjunto de Cantor o algo similar (no estoy seguro de si los extremos buscar localmente como el resto de los puntos).
• Probablemente, la alfombra de Sierpinski y un montón de espacios similares.
• Probablemente los números irracionales.
• Cualquier producto finito de espacios con esta propiedad.

Cualquier otra cosa? Es posible clasificar estos espacios en cualquier forma interesante?

Answer 1

El conjunto de Cantor es, de hecho, un ejemplo: es homeomórficos a $\{0,1\}^\omega$ donde $\{0,1\}$ tiene la topología discreta, y así es todo abierto básicos establecidos en este producto. De hecho, si $X$ es cualquier espacio discreto, y $\kappa$ es cualquier infinita cardenal, $X^\kappa$ tiene la propiedad de que cada miembro de la obvia base para la topología producto es claramente homeomórficos a $X^\kappa$. La alfombra de Sierpiński es un conjunto de Cantor.

El conjunto de Cantor es casi un ejemplo de una de las más fuertes de la propiedad: es casi un espacio en el que todos los no-vacío conjunto abierto es homeomórficos a todo el espacio. En realidad tiene dos tipos de no-vacío abierto subconjunto compacto, que son homeomórficos para el conjunto de Cantor, y no compacta, que son homeomórficos para el conjunto de Cantor menos un punto y a la discreta unión de $\omega$ copias del conjunto de Cantor.

El irrationals son un ejemplo de un espacio con el más fuerte de la propiedad: por un viejo resultado de Alexandroff y Uryson ellos son los únicos topológicamente completa, separables, $0$-dimensional espacio métrico que no contiene no vacío, compacto conjunto abierto, y todas estas propiedades son heredadas por no vacía de subconjuntos abiertos. Más generalmente, si $X$ es cualquier infinito espacio discreto, $X^\omega$ es un espacio metrizable de peso $|X|$ con el más fuerte de la propiedad.

Si $\kappa$ es cualquier infinita cardenal, $\{\kappa\setminus\alpha:\alpha<\kappa\}\cup\{\varnothing\}$ $T_0$ topología en $\kappa$ en el que todos los no-vacío abierto conjuntos de homeomórficos.

Si $\lambda\le\operatorname{cf}\kappa$ es también una infinita cardenal, $\{U\subseteq\kappa:|\kappa\setminus U|<\lambda\}\cup\{\varnothing\}$ $T_1$ topología en $\kappa$ con la propiedad deseada; al $\lambda=\omega$ es simplemente el cofinite topología.