Sí, esto es cierto. Una declaración más general de la siguiente manera a partir de una adecuada forma fuerte de Dirichlet del teorema en progresiones aritméticas, es decir, que asintóticamente la proporción de números primos que son congruentes a $a \bmod n$ ( $\gcd(a, n) = 1$ )$\frac{1}{\varphi(n)}$.
En el caso particular de que $n = 6$ es posible dar una respuesta más elemental de la prueba de un resultado más débil. Definir el Dirichlet L-función
$$L(s, \chi_6) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi_6(n)}{n^s}$$
donde $\chi_6$ es la única que no sea trivial carácter de Dirichlet $\bmod 6$. Esto toma la forma $\chi_6(n) = 1$ si $n \equiv 1 \bmod 6$, $\chi_6(n) = -1$ si $n \equiv 5 \bmod 6$, e $\chi_6(n) = 0$ lo contrario. El producto de Euler de esta L-función
$$L(s, \chi_6) = \prod_p \left( \frac{1}{1 - \chi_6(p) p^{-s}} \right) = \prod_{p \equiv 1 \bmod 6} \left( \frac{1}{1 - p^{-s}} \right) \prod_{p \equiv 5 \bmod 6} \left( \frac{1}{1 + p^{-s}} \right).$$
Es posible evaluar explícitamente $L(1, \chi_6)$ y, en particular, para mostrar que no es cero; de hecho,
$$L(1, \chi_6) = \int_0^1 \frac{1 - x^5}{1 - x^6} \, dx$$
y esto puede ser evaluado usando fracciones parciales (pero tenga en cuenta que el integrando es siempre positiva por lo que este número es definitivamente positivo). Así llegamos a la conclusión de que
$$-\log L(s, \chi_6) = \sum_{p \equiv 1 \bmod 6} \log (1 - p^{-s}) + \sum_{p \equiv 5 \bmod 6} \log (1 + p^{-s})$$
se acerca a un valor distinto de cero constante como $s \to 1$ (si resumirse en el orden adecuado) aunque el primer y segundo términos por separado enfoque de $\mp \infty$. Así, las contribuciones provenientes de los números primos en cada uno de los residuos de la clase cancelar asintóticamente. Esto no es tan fuerte como el deseado declaración, aunque, si usted llene todos los detalles en lo que yo he dicho que voy a mostrar que la de Dirichlet de la densidad de los números primos congruentes a $\pm 1 \bmod 6$ son los mismos, pero esto debe ser verdad para los naturales de la densidad y esto requiere un argumento más (no estoy seguro de cuánto más, aunque).
Para más detalles, véase cualquier libro sobre la teoría analítica de números, por ejemplo, Apostol.
