Resolviendo la ecuación de Young-Laplace para geometría arbitraria de simetría axial

Question

Supongamos que tengo una burbuja de jabón no elipsoidal y quiero analizar numéricamente la presión en el lóbulo interno de esta burbuja aquí:

La ecuación de Young Laplace da la diferencia de presión a través de una interfaz fluida como función de las curvaturas. Tengo un conjunto de puntos en el espacio 2D (se asume simetría axial) para el lóbulo interno.

¿Cómo puedo obtener la fuerza neta que actúa sobre toda la superficie del lóbulo interno debido al gradiente de presión de Young-Laplace? Sería fácil si el lóbulo en sí fuera aproximadamente elipsoidal, ya que solo hay dos radios principales de curvatura y el gradiente de presión se obtiene a partir de ahí.

Pero, ¿qué sucede si tengo una forma más compleja para el lóbulo interno que no es elipsoidal? ¿Debo intentar dividir la forma en muchas elipses, por improbable que suene?

Answer 1

Calcular la presión de Laplace para una superficie dada implica un poco de matemáticas, pero no es particularmente difícil. Para la curvatura en coordenadas cartesianas obtendrás la siguiente monstruosidad de una ecuación diferencial parcial de segundo orden no lineal:

$$\frac{\Delta P}{\gamma}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\frac{\partial_{xx}z\left[1+\left(\partial_yz\right)^2\right]-2\left(\partial_xz\right)\left(\partial_xz\right)\left(\partial_{xy}z\right)+\partial_{yy}z\left[1+\left(\partial_xz\right)^2\right]}{\left[1+\left(\partial_xz\right)^2+\left(\partial_yz\right)^2\right]^{3/2}}$$

Como una ecuación diferencial parcial con condiciones de contorno, esta cosa es muy difícil de resolver, pero si tienes una superficie dada, es decir, $z(x,y)$, debería ser sencillo calcular la presión de Laplace para cualquier posición $(x,y)$ en esa superficie.

Si estás interesado en algunas simplificaciones de esta ecuación (por ejemplo, en 2D), consulta las páginas 27 en adelante de este documento sobre capilaridad y mojado. Proviene de un curso de nivel de posgrado sobre el tema.

Answer 2

Siempre tendrás una curvatura local para tu curva 2D. A partir de las coordenadas de puntos adyacentes del dominio discretizado, puedes calcular esta curvatura.

El segundo radio de curvatura se puede obtener utilizando la distancia al eje de alguna manera. (El enlace que proporcionaste da algunas pistas al respecto)

Pero debes tener cuidado al determinar la presión dentro de la burbuja. El problema que estás estudiando no es de estado estacionario. Verás que hay diferencias de presión dentro de la burbuja, que eventualmente obligará a la burbuja a adoptar un estado esférico.