Automorphism de un anillo de serie de energía formal

Question

¿Es el siguiente teorema verdadero? En caso afirmativo, ¿cómo sería usted probarlo?

Teorema de la Que $A$ ser un anillo comutativo. Sea $A[[x]]$ el anillo de la serie de energía formal en una variable. Sea $\mathfrak{m}$ el ideal de la $A[[x]]$ de $x$. Que $u$ sea un elemento inversible de $A$. Que $f(x) = ux + g(x)$, donde $g(x) \in \mathfrak{m}^2$. Entonces existe un automorfismo único $\psi$ $A[[x]]$ fijación de cada elemento de $A$ tal que $\psi(x) = f$.

Answer 1

Según Eisenbud teorema 7.16a, existe un único homomorfismo $\psi$ definido en la pregunta. A ver que $\psi$ es un isomorfismo, es suficiente para comprobar que el $\ker\psi=0.$ pero esto es inmediato, ya que, suponiendo que $p$ es una serie de energía tenemos $0=\psi(p(x))=p(\psi(x))$ que implica el coeficiente $u=0.$

Answer 2

$\psi$ es "evaluar en $f(x)$" es un homomorphism es una norma (y no muy esclarecedor) manipulación de poder de la serie, así que voy a omitir.

Para comprobar que es invertible, es suficiente para encontrar $f^{-1}(x)$. Para solucionar $f(y) = x$ o $x = uy + g(y)$:

$$y = u^{-1} x + u^{-1} g(y) = u^{-1} x + u^{-1} g\left(u^{-1} x + u^{-1} g(y)\right) = \cdots $$

Debido a $g(x) \equiv 0 \mod{x^2}$, no es difícil ver que esta serie converge. La inversa de a $\psi$ es entonces "Evaluar en $y$".

Podría ser más fácil usar el método de Newton, comenzando con la primera aproximación

$$y \approx u^{-1} x$$

No sé, una prueba de que $\psi$ es el único anillo homomorphism ( $A$ ) que envía la $x$$f(x)$, aunque es obvio que es el único que continua.