¿Cuál es el significado físico del producto punto y cruz de los vectores? ¿Por qué la división no está definida para los vectores?

Question

Entiendo el significado físico de la suma y la resta de vectores. Pero no entiendo qué significan los productos punto y cruz.

Más concretamente,

• ¿Por qué el producto punto de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como $AB\cos\theta$ ?
• ¿Por qué el producto cruzado de vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como $AB\sin\theta$ ¿a través de un vector unitario determinado por la regla de la derecha?

A mí me parece que ambas fórmulas están definidas de forma arbitraria (aunque sé que definitivamente no sería así).

Si el producto cruzado puede definirse arbitrariamente, ¿por qué no podemos definir la división de vectores? ¿Qué hay de malo en ello? ¿Por qué no se pueden dividir los vectores?

Answer 1

Entiendo el significado físico de la suma y la resta de vectores. Pero no entiendo qué significan los productos punto y cruz.

Tal vez te resulten más intuitivas las interpretaciones geométricas de los productos punto y cruz:

El producto punto de A y B es la longitud del proyección de A sobre B multiplicado por la longitud de B (o al revés, es conmutativo).

La magnitud del producto cruzado es el área del paralelogramo con dos lados A y B . La orientación del producto cruzado es ortogonal al plano que contiene este paralelogramo.

¿Por qué no se pueden dividir los vectores?

¿Cómo definirías la inversa de un vector tal que $\mathbf{v} \times \mathbf{v}^{-1} = \mathbf{1}$ ? ¿Cuál sería el "vector de identidad" $\mathbf{1}$ ?

De hecho, la respuesta es a veces se puede . En particular, en dos dimensiones, se puede hacer una correspondencia entre vectores y números complejos, donde las partes real e imaginaria del número complejo dan las coordenadas (x,y) del vector. La división está bien definida para los números complejos.

El producto cruzado sólo existe en 3D.

La división se define también en algunos espacios de mayor dimensión (como el cuaterniones ), pero sólo si se renuncia a la conmutatividad y/o a la asociatividad.

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Esta es una ilustración de los significados geométricos del producto punto y cruz, del artículo de wikipedia para el producto punto y artículo de wikipedia para el producto cruzado :

Answer 2

La mejor manera es ignorar la basura que ponen los autores en los libros de física elemental, y definirlo con tensores. Un tensor es un objeto que se transforma como un producto de vectores bajo rotaciones. Equivalentemente, se puede definir por funciones lineales de (conjuntos de vectores) y (funciones lineales de conjuntos de vectores), todo esto se describe en Wikipedia.

Hay exactamente dos tensores que son invariantes bajo rotaciones:

$\delta_{ij}$ y $\epsilon_{ijk}$

Todos los demás tensores que son invariantes bajo rotaciones son productos y trazas tensoriales de éstos. Estos tensores definen el "producto punto" y el "producto cruz", ninguno de los cuales es una buena noción de producto:

$V \cdot U = V^i U^j \delta_{ij}$

y el producto cruzado

$(V \times U)_k = V^i U^j \epsilon_{ijk}$

No tiene sentido tratar de pensar en el producto cruzado como un "producto", porque no es asociativo, $(A\times B)\times C$ no es igual a $A\times(B\times C)$ . También es poco útil pensar en el producto-punto como un producto en el sentido habitual, ya que toma pares de vectores a números, y $(A\cdot B)C$ no es igual a $A(B\cdot C)$ porque el primero apunta en la dirección C y el segundo en la dirección A.

La mejor manera es acostumbrarse a los tensores invariantes. Éstos se generalizan a dimensiones arbitrarias, son mucho más claros y no requieren una regla de la mano derecha (de esto se encarga la convención del orden de los índices). No encontrarás un solo artículo de física que utilice el producto cruzado, con la única excepción del artículo de Feynman de 1981 "el comportamiento cualitativo de la teoría de Yang-Mills en 2+1 dimensiones", e incluso si lo encuentras, es trivial de traducir.

Answer 3

Usted puede dividir vectores con álgebra clifford ("geométrica").

El producto geométrico de vectores es asociativo:

$$abc = (ab)c = a(bc)$$

Y el producto geométrico de un vector consigo mismo es un escalar.

$$aa = |a|^2$$

Estas son todas las propiedades necesarias para definir un producto único de vectores. Todas las demás propiedades pueden derivarse. Sin embargo, las resumiré: para dos vectores, el producto geométrico une los productos punto y cruz.

$$ab = a \cdot b + a \wedge b$$

Utilizamos cuñas en lugar de cruces porque este segundo término es no un vector. Lo llamamos bivector y representa un plano orientado. Puede ser instructivo introducir una base para ver esto. $e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1$ y $e_1 e_2 = -e_2 e_1$ capturan las propiedades del producto geométrico para estos vectores de base ortonormal. El producto geométrico es entonces,

$$ab = (a^1 e_1 + a^2 e_2) (b^1 e_1 + b^2 e_2) = (a^1 b^1 + a^2 b^2) + (a^1 b^2 - a^2 b^1) e_1 e_2$$

Como he dicho, el producto geométrico de dos vectores es invertible en el espacio euclidiano. Esto es obvio a partir de la propiedad de asociatividad: $a b b^{-1} = a(b b^{-1}) = a$ . Que $b b^{-1} = 1$ implica que

$$b^{-1} = b/|b|^2$$

Es informativo mirar la cantidad $a = (a b) b^{-1}$ , utilizando la agrupación para descomponerlo de una manera diferente.

$$a = (ab)b^{-1} = (a \cdot b) b^{-1} + (a \wedge b) \cdot b^{-1}$$

El primer término está en la dirección de $b$ el segundo es ortogonal a $b$ . Esto descompone $a$ en $a_\parallel$ y $a_\perp$ .

Lo que otros han dicho es correcto, tú no puede definir sólo el producto vectorial cruzado para que sea invertible. Esta descomposición debería convencerte: no puedes reconstruir completamente un vector sin información de ambos los productos de punto y cruz. Y como se ha dicho, este producto es no conmutativa.

Answer 4

Si vas a definir la división de vectores, tendrás que definir sobre qué campo de multiplicación vas a definir la división: Para los números ordinarios, pienso en $\frac{x}{y}$ como el número que, multiplicado por $y$ , da $x$ . Así que, $\frac{\vec x}{\vec y}$ tendría que ser el vector que, al ser "multiplicado" por $\vec y$ , da $\vec x$ . Si nuestro campo de multiplicación es el producto escalar, ya estamos en problemas, porque el producto escalar de dos vectores es un escalar, y la definición anterior requeriría por tanto $\frac{\vec x}{\vec y}$ para ser simultáneamente un vector y un escalar.

Del mismo modo, si nuestra operación es el producto cruzado, entonces sabemos que, para cualquier vector $\vec x$ y $\vec y$ y cualquier escalar $c$ tenemos ${\vec x} \times {\vec y} = {\vec x}\times \left({\vec y} + c{\vec x}\right)$ por lo que esto significa que hay un número infinito de vectores que satisfacen la propiedad "al ser reproducidos por $\vec y$ , da $\vec x$ ". Por lo tanto, la división sobre el producto cruzado no es única.

Answer 5

Además de la respuesta de nibot: dividir algo es encontrar una parte de algo. En el caso de un vector, su parte tiene la misma dirección pero una longitud menor. Así que es natural dividir vectores por números, no por vectores.

Estos productos puntuales y cruzados no son productos simples porque no sólo dependen de las longitudes sino también de las orientaciones. Se llaman correspondencias entre un par de vectores y números o vectores.