Ejemplos peculiares para el teorema de representación de piedra

Question

La Piedra Representación teorema establece que toda álgebra de boole es isomorfo a un campo de conjuntos. Es decir, un álgebra Booleana cuyos elementos son conjuntos, y las sumas, productos, la negación de la unión, la intersección y la complementa, respectivamente.

Pero el teorema no dice que se conserva más que la básica Booleano de la estructura. Uno de mis profesores de pregrado no en el hecho de trabajar mucho alrededor de álgebras Booleanas. Así que una vez me preguntaron,

Si tenemos un $\sigma$-álgebra (o un álgebra Booleana) es el campo de conjuntos de Piedra del teorema cerrado bajo contables de los sindicatos (o arbitrarias sindicatos)?

Su respuesta fue que no. Pero nunca me dio un ejemplo.

Pregunta. Fue mi profesor de derecho (probablemente sí), y si es así, ¿cuál es un ejemplo de una $\sigma$-álgebra (o incluso un completo álgebra de boole), que no es isomorfo a cualquier $\sigma$-campo de conjuntos (o un campo de conjunto cerrado bajo arbitraria sindicatos)?

Answer 1

Usted probablemente ya sabe ejemplos de esto sin darse cuenta!

Deje $\kappa$ ser un incontable cardenal y deje $P$ ser el poset de finito parcial inyecciones $\kappa \to \omega$, ordenados por $\supseteq$. Para cada una de las $i < \kappa$ y cada una de las $n < \omega$, vamos a $p_{i,n} : \kappa \rightharpoonup \omega$ ser el parcial mapa definido sólo en $i$ con valor de $n$. Aquí, un ideal de a $P$ es hacia abajo cerrado subconjunto $I \subseteq P$ con la siguiente propiedad:

• Deje $f \in P$, vamos a $i < \kappa$, y supongamos $i \notin \operatorname{dom} f$. Para cada una de las $n < \omega$, vamos a $f_n$ $f \cup p_{i,n}$ ($f \land p_{i,n}$ w.r.t. el orden de $P$). Si $f_n \in I$ todos los $n < \omega$,$f \in I$.

Deje $\Omega$ ser el poset de los ideales de $P$. Claramente, $\Omega$ es cerrado bajo intersecciones arbitrarias, por lo $\Omega$ es un completo entramado. (De hecho, $\Omega$ es una completa álgebra de Heyting, pero no vamos a necesitar este hecho.) Es fácil ver que el conjunto de $${\downarrow} (f) = \{ p \in P : p \supseteq f \}$$ es un ideal de a $P$, por lo que obtener una orden de incorporación de ${\downarrow} : P \to \Omega$. Tenga en cuenta que se conserva reúne todos los que existen en $P$.

Me reclama que no existen $\sigma$-primer filtros de $\Omega$, es decir, hacia arriba-cerrado subconjuntos $F \subset \Omega$ tal forma que:

• La parte inferior del elemento de $\Omega$ no $F$.
• El elemento de la parte superior de $\Omega$$F$, e $F$ es cerrado bajo finito cumple.
• Si $\left( \bigvee_{n < \omega} I_n \right) \in F$, luego de algunos $n < \omega$, $I_n \in F$.

En efecto, supongamos $F$ $\sigma$- primer filtro de $\Omega$. A continuación, $\bigvee_{n < \omega} {\downarrow} (p_{i,n})$ es el elemento de la parte superior de $\Omega$; por lo tanto, para algunos $f (i) < \omega$, ${\downarrow} (p_{i, f(i)}) \in F$. (De hecho, $f (i)$ está determinada únicamente por $F$.) Por otra parte, ${\downarrow} (p_{i, f(i)}) \cap {\downarrow} (p_{j, f(j)}) = {\downarrow} (p_{i, f(i)} \land p_{j, f(j)}) \in F$, lo $i \ne j$ implica $f (i) \ne f (j)$. Así que tenemos un inyectiva mapa total $f : \kappa \to \omega$ – es una contradicción!

Se sigue de la afirmación de que cada monotono mapa de $\Omega \to 2$ que conserva contables une debe ser una constante mapa. En particular, no puede existir una orden de incorporación de $\Omega \to 2^X$ que conserva contables une. A pesar de $\Omega$ no es un álgebra de boole, sí existe un no-trivial completar álgebra booleana $B$ y un pedido de incorporación de $\Omega \to B$ que conserva arbitraria une y finito cumple. (Este es un teorema de Barr, y se utiliza el hecho de que $\Omega$ es una completa álgebra de Heyting.) A continuación, $B$ $\sigma$- álgebra no isomorfo a cualquier $\sigma$-álgebra de conjuntos.

Answer 2

La pregunta en el presupuesto de caja es diferente de la pregunta al final de su post - es posible tener un $\sigma$-álgebra/completar álgebra Booleana que es isomorfo a un álgebra de conjuntos, pero para que el campo de conjuntos dada por la Piedra del teorema no es cerrado bajo infinito sindicatos.

De hecho, el ejemplo lo más fácil obras: Considere el $B = \mathcal{P}(\omega)$ como $\sigma$-álgebra o un álgebra Booleana. Ahora $[\{n\}] = \{U\in S(B)\mid \{n\}\in U\} = \{\text{the principal ultrafilter generated by }n\}$ es un clopen establecido para cada una de las $n\in \omega$, pero $\bigcup_{n\in\omega}[\{n\}] = \{U\in S(B)\mid U\text{ is principal}\}$ no es igual a $[X]$ cualquier $X\subseteq \omega$.

Por supuesto, $B$ es un campo de juegos. Zhen Lin la respuesta de las direcciones de la pregunta que realmente importa.

Answer 3

Su profesor está a la derecha.

Como usted dijo, la Piedra de la representación teorema afirma que cada álgebra de boole es isomorfo a un campo de juego. Sin embargo, no todos los Booleano $\sigma$-álgebra es $\sigma$-isomorfo a un $\sigma$-campo de conjuntos.

Un ejemplo típico es el cociente de la álgebra de Lebesgue medibles subconjuntos de la unidad de intervalo por el ideal de conjuntos de medida cero. Es un Booleano $\sigma$-álgebra que no es $\sigma$-isomorfo a cualquier $\sigma$-campo de conjuntos (un resultado probado, si no me equivoco, por Marczewski (1946): Mide dans les corps de Boole).