Preguntas sobre los modelos de Fraenkel

Question

Halbeisen en la página 172 contiene una sección titulada "El Segundo Modelo de Fraenkel". El artículo original de Fraenkel que contiene este modelo se puede encontrar aquí. Tengo varias preguntas sobre este modelo y los modelos $\mathsf{FM}$ en general.

1. Si este artículo de 1922 de Fraenkel no es el primero que describe los modelos $\mathsf{FM}$, ¿alguien podría señalarme su primer artículo en el que inventa la técnica? (dado que Halbeisen lo llama el segundo modelo supongo que debe haber un artículo anterior que contenga su primer modelo, aunque mirando esta lista de publicaciones parece ser el primero).

2. En este artículo de 1922 escribe que para esta construcción del modelo podemos mantener los axiomas de Zermelo I, II, IV-VII tal como están pero en Halbeisen en la página 168 se afirma que necesitamos usar versiones modificadas del Conjunto Vacío y de Extensionalidad. Por lo tanto, mi pregunta 2.a) es: ¿Es un error en el artículo de Fraenkel? (Creo que es poco probable) y mi pregunta 2.b) es: El Conjunto Vacío es una consecuencia de todos los demás axiomas, ¿no sería suficiente usar una versión modificada de Extensionalidad?

3. Por último, la pregunta que es más importante para mí: ¿Qué probó exactamente el artículo de 1922 de Fraenkel? El objetivo, por supuesto, era mostrar que $\mathsf{AC}$ es independiente de $\mathsf{ZF}$ mediante la construcción de un modelo de $\mathsf{ZF}$ en el que falla $\mathsf{AC}$. Pero el modelo que construyó es un modelo de $\mathsf{ZFA}$ y no de $\mathsf{ZF}$ y parece ser el caso que esos métodos de transferencia utilizados para incrustar estos modelos de Fraenkel en modelos simétricos no se conocieron hasta unos 30 años más tarde. Por lo tanto, ¿cuál es la relación entre $\mathsf{ZFA}$ y $\mathsf{ZF}$? (sin usar métodos de transferencia)

Answer 1

Historicamente, la lista de axiomas conocida como $\sf ZF$ no fue escrita hasta mediados de la década de 1920 cuando von Neumann escribió su tesis de doctorado, donde demostró la consistencia relativa de la regularidad, y definió los ordinales como los conocemos hoy en día, y así sucesivamente.

Las pruebas originales de Fraenkel contenían errores. No conozco el error exacto, pero sí sé que Mostowski encontró un error; Fraenkel reescribió sus argumentos; Mostowski encontró más errores y terminó escribiendo los argumentos usando soportes que son muy similares a lo que conocemos hoy en día, Specker fue quien dio el toque final a la técnica. Cabe destacar que en ninguna ocasión las construcciones se llevaron a cabo en $\sf ZFC-Reg$, donde se utilizaban conjuntos de la forma $x=\{x\}$ para los átomos. (Es por eso que en muchos lugares este método se llama Fraenkel-Mostowski o incluso Fraenkel-Mostowski-Specker.)

Por último, $\sf ZFA$ contiene átomos. Eso es enorme. Aún más cuando solo "desordenamos" los conjuntos impuros. Cabe destacar que no importa cuánto lo intentes, nunca podrás formar un modelo de permutación en el cual los números reales no puedan ser bien ordenados. Porque la potencia de los enteros puede ser bien ordenada en modelos de permutación de $\sf ZFA$. Pero Fraenkel "demostró" (o al menos sentó las bases para la prueba) que el axioma de elección no es demostrable a partir de los otros axiomas cuando permitimos átomos, y eso fue un gran avance. Muestra que este axioma no es una consecuencia de la teoría de conjuntos de Zermelo (sin la elección en sí, por supuesto) si permitimos átomos.

La reseña histórica, incluidas las referencias, por cierto, se puede encontrar tanto en el libro "The Axiom of Choice" de Jech como en el libro de Halbeisen, en el mismo capítulo (en la sección de notas al final).

Answer 2

Dado que estamos tratando con modelos de $\sf{ZFA}$, debemos tener en cuenta esos átomos. En particular, los átomos no tienen elementos, por lo que tienen los mismos elementos que el conjunto vacío. Pero son diferentes del conjunto vacío. Y entre sí. Por lo tanto, se necesita una forma modificada de Extensionalidad. Por lo general, $\sf{ZFA}$ incluye un predicado que indica que $A(x)$ se cumple si y solo si $x$ es un átomo. Por lo que Extensionalidad debería reformularse

$( \forall x ) ( \forall y ) ( ( \neg A(x) \wedge \neg A(y) ) \rightarrow ( ( \forall u ) ( u \in x \leftrightarrow u \in y ) \rightarrow x = y ) )$.

En otras palabras: cualquier par de no átomos (es decir, conjuntos) que tienen los mismos elementos son iguales.

El Axioma del Conjunto Vacío también se modifica para garantizar un conjunto sin elementos:

$( \exists x ) ( \neg A(x) \wedge ( \forall u ) ( u \notin x ) )$.

¿En cuanto a la cuestión de su necesidad? Es un poco complicado.

• Observa que inalterado, el Esquema de Axiomas de Separación aplicado a algún conjunto $X$ y la fórmula $\varphi (u) \equiv u \neq u$ arrojará algún objeto $Y$ con la propiedad de que $u \notin Y$ para todo $u$. Sin embargo, por inalterado esto significa que no hay especificación de que el objeto $Y$ sea en sí mismo un conjunto. En particular, el objeto $Y$ podría ser un átomo.

• Observa también la siguiente construcción: Dado cualquier átomo $a$, considera, mediante el Axioma del Conjunto Potencia (inalterado) $$\mathcal{P} ( a ) = \{ X : ( \forall u ) ( u \in X \rightarrow u \in a ) \}.$$ Observa que $\mathcal{P} ( a )$ contiene todos los átomos y ningún conjunto no vacío. Luego, aplicando una instancia del Esquema de Axiomas de Separación (un poco expandido), obtenemos el conjunto $$Y = \{ X \in \mathcal{P} ( a ) : \neg A ( X ) \}.$$ Entonces, $Y$ está vacío o contiene el conjunto vacío. En particular, el conjunto vacío debe existir. Pero esta construcción solo funciona si permites el predicado $A$ en la instancia del Esquema de Axiomas de Separación, lo cual no ha sido explícitamente afirmado por Halbeisen.

Después de una consideración adicional, parece que la forma de obtener la existencia del conjunto vacío en $\sf{ZFA}$ con el menor número de cambios a $\sf{ZF}$ podría ser incluir el Axioma del Conjunto Vacío (modificado). Por supuesto, se podrían formular los axiomas de $\sf{ZFA}$ revisando todos los axiomas de $\sf{ZF}$ y asegurando que cuando se construyen objetos sean conjuntos, y luego el método habitual de mostrar que el conjunto vacío existe funcionaría.

Deberías tener en cuenta que en el libro La Axiomática de la Elección de Jech, $\sf{ZFA}$ se describe como la teoría obtenida al realizar las siguientes modificaciones a $\sf{ZF}$:

• incluir un símbolo de predicado unario $A$ y un símbolo constante $0$.
• Axioma del Conjunto Vacío. $\neg ( \exists x ) ( x \in 0 )$.
• Axioma de Átomos. $( \forall z ) ( A(z) \leftrightarrow ( z \neq 0 \wedge \neg ( \exists x ) ( x \in z ) ) )$.
• Axioma de Extensionalidad. $( \forall \text{ conjunto } X ) ( \forall \text{ conjunto } Y ) ( ( \forall u ) ( u \in X \leftrightarrow u \in Y ) \leftrightarrow X = Y )$.
• Axioma de Regularidad. $( \forall \text{ conjunto no vacío } S ) ( \exists x \in S ) ( x \cap S = 0 )$.

donde

• $( \forall \text{ conjunto } X ) \ldots$ es una abreviatura de $( \forall X ) ( \neg A ( X ) \rightarrow \ldots )$; y
• $( \forall \text{ conjunto no vacío } X ) \ldots$ es una abreviatura de $( \forall X ) ( ( \exists x ) ( x \in X ) \rightarrow \ldots )$.

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¿Qué logró el documento de Fraenkel? Tienes razón en que fue un resultado más débil, demostrando que $\sf{AC}$ no es demostrable a partir de $\sf{ZFA}$, pero al menos insinuó la posibilidad del resultado posterior de Cohen. Y uno debería ver una similitud entre el método de modelos de permutación y los submodelos simétricos de extensiones genéricas. Además, cabe destacar que cualquier modelo de $\sf{ZF}$ es un modelo de $\sf{ZFA}$, con una colección vacía de átomos.

Answer 3

Esto es solo una nota al pie de las otras respuestas. Pero es interesante que parece haber un resurgimiento de interés en los modelos de permutación Fraenkel-Mostowski (por ejemplo, este año 'Modelos de Permutación para Teoría de Conjuntos' está en la lista de temas de ensayo para Part III Maths Tripos).

Una fuente de interés renovado proviene de científicos de la computación interesados en la "sustitución evitando capturas": para algunas ideas generales, ver por ejemplo este artículo.

Otra fuente reciente es que la prueba anunciada por Randall Holmes de la consistencia de la teoría de conjuntos NF utiliza técnicas FM. ¡Tiempos interesantes!