Área de círculos: representan $x$ $r_1$ y $r_2$

Question

Ver la imagen. Área de verde y rojo son iguales. ¿Puede representan $x=|O_2D|$ $r_1$ y $r_2$ $r_1> r_2$?

Edit: El % de punto $O_1$no entra en la región del círculo pequeño.

Answer 1

Considere la posibilidad de esta rosa rombo:

Si dividimos el área verde en dos secciones (P y Q) a lo largo de la línea M, podemos encontrar cada una de sus áreas, en términos de la radio y el ángulo de uno de los círculos, restando el área del triángulo formado por los dos radios y M de la zona de todo el sector. (Voy a usar la grande $R$ $r_1$ y poco $r$$r_2$.)

$$ Area\space of\space P = \frac{\theta}{2\pi}{\pi{r^2}} - r^2\cos{\frac{\theta}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} $$ $$ Area\space of\space Q = \frac{\phi}{2\pi}{\pi{R^2}} - R^2\cos{\frac{\phi}{2}}\sin{\frac{\phi}{2}} $$

$$Area \space of\space Q + \space Area \space of \space P = \frac{\phi}{2\pi}{\pi{R^2}} - R^2\cos{\frac{\phi}{2}}\sin{\frac{\phi}{2}} + \frac{\theta}{2\pi}{\pi{r^2}} - r^2\cos{\frac{\theta}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}\pi {r^2}\tag{1}$$

Que las cuatro variables. Podemos relacionar $\theta$ $\phi$mediante la expresión de la longitud de $M$ en términos de cada uno. $$ 2r\sin{\frac{\theta}{2}} = M = 2R\sin{\frac{\phi}{2}}$$ $$ \phi = 2\arcsin{(\frac{r}{R}\cdot\sin{\frac{\theta}{2}})}\tag{2}$$ Pluging $(2)$ a $(1)$ debe ser suficiente para expresar $\theta$ en términos de$r$$R$.

Ahora, $x$ $R$ menos de la longitud del rombo. $$ x = R - r\cos{\frac{\theta}{2}} - R\cos{\frac{\phi}{2}} $$ y el resto es álgebra.