Por qué necesitamos vectores y valores propios

Question

Dada una matriz A, ¿qué implican los vectores propios y los valores propios de A? Sé cómo calcularlos pero quiero entender ¿POR QUÉ necesitamos encontrarlos? ¿En qué aplicación es importante?

Gracias

Answer 1

Esta página puede ayudar gráficamente a algunas de las aplicaciones: http://setosa.io/ev/eigenvectors-and-eigenvalues/

Música

Toda la música es sólo valores y vectores propios. Las cuerdas de una guitarra, un sitar o un santoor resuenan en sus frecuencias de valores propios. Las membranas de los instrumentos de percusión, como la tabla india, los tambores, etc., resuenan en sus valores propios y se mueven según los vectores propios bidimensionales.

Estadísticas

Los vectores propios de la matriz de su conjunto de datos corresponden a las direcciones de máxima varianza, ordenadas en aumento marginal decreciente de la varianza por los valores propios correspondientes. Esta es la idea principal del análisis de componentes principales (ACP), un truco de reducción de la dimensionalidad que se utiliza a menudo en el aprendizaje automático y la IA.

Teoría del control

Los valores propios de la matriz del sistema de un sistema lineal proporcionan información sobre la estabilidad y la respuesta del sistema. Para un sistema continuo, el sistema es estable si todos los valores propios tienen parte real negativa (situados en la mitad izquierda del plano complejo). Para un sistema discreto, el sistema es estable si todos los valores propios tienen una magnitud menor que 1 (dentro del círculo unitario en el plano complejo)

Gráficos

Valores propios de las matrices asociadas a los grafos, como la matriz de adyacencia y la matriz laplaciana. Están relacionados con varias propiedades estructurales del grafo. Por ejemplo, el número de 0 valores propios de la matriz laplaciana es igual al número de componentes del grafo. El número de valores propios distintos de la matriz de adyacencia es un límite inferior de uno más el diámetro del grafo (el tamaño del camino más largo del grafo), y así sucesivamente.

Finanzas

Los valores y vectores propios de una matriz se utilizan a menudo en el análisis de datos financieros y son fundamentales para extraer información útil de los datos brutos. Pueden utilizarse para predecir los precios de las acciones y analizar las correlaciones entre varias acciones, correspondientes a diferentes empresas. También pueden utilizarse para analizar los riesgos. Existe una rama de las Matemáticas, conocida como Teoría de las Matrices Aleatorias, que se ocupa de las propiedades de los valores y vectores propios, y que tiene amplias aplicaciones en Finanzas, Gestión de Riesgos, Estudios Meteorológicos, Física Nuclear, etc.

Resultados de la búsqueda en Google

El algoritmo de búsqueda de Google diagonaliza una matriz gigante y con el método SVD (Singular value decomposition), y según el valor propio asignado a cada sitio web, te muestra los mejores resultados. Vea el artículo sobre esto aquí: http://www.rose-hulman.edu/~bryan/googleFinalVersionFixed.pdf

La mecánica cuántica

Los valores propios son posibles resultados de medición de un observable representado por un operador.

Mecánica clásica

Los vectores propios del tensor de momento de inercia representan los "ejes principales" alrededor de los cuales un cuerpo sólido puede girar de forma estable, y los valores propios correspondientes son momentos de inercia escalares a lo largo de esos ejes.

Estos resúmenes extraídos de : https://www.quora.com/What-are-some-very-good-and-practical-uses-of-eigenvalues-of-a-matrix