Cada secuencia de racionales, cuya suma es irracional, tiene una larga cuya suma es racional

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de números racionales $a=(a_n)$. Supongamos que tenemos un resumen de la función $S: \mathscr {L}^1 \mapsto \mathbb R, \ \ S(a)=\sum a_n$ ($\mathscr {L}^1$ es el espacio de secuencias cuyas sumas de los valores absolutos converge). Suponga también que el $S(a) \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$.

Me gustaría saber si cada secuencia $a$ tiene una larga $b$ (infinitamente largo) tal que $S(b) \in \mathbb Q$.

Tomar como ejemplo la $a_n = 1/n^2$. A continuación,$S(a)=\pi^2/6$. Pero $a$ tiene una larga $b=(b_n)=(1/(2^n)^2)$ (es decir. todas las plazas de los poderes de $2$). A continuación,$S(b)=4/3$. Es este caso, con cada secuencia?

Answer 1

No. Por ejemplo, en la secuencia de $a_n=2^{-2^n}$, $n=1$, $2$, $\dots$. Un infinito subsequence $(a_{n_k})$ $(a_n)$ tendrá suma $$S:=\sum_k a_{n_k}=\sum_k 2^{-2^{n_k}}.$$ Así, el binario de expansión de $S$ tienen $1$s en posiciones $2^{n_1}$, $2^{n_2}$, $2^{n_3}$, $\dots$, y $0$s de todas partes. Esto no es un periódico de la secuencia, por lo $S$ debe ser irracional.

Answer 2

No; por ejemplo, si $(n_i)$ es estrictamente creciente secuencia de enteros positivos, entonces podemos imitar a la prueba de la irracionalidad de la $e$ a ver que

$$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n_1 \dots n_i} \notin \mathbf Q.$$

Pero cada sub-serie de esta serie tiene la misma propiedad (sólo asciende a la agrupación de algunas de las $n_i$ en conjunto).

Answer 3

Lo que si hizo

$\ \ a_1=.1$

$\ \ a_2=.0101$

$\ \ a_3=.00001001$

$\ \ a_4=.0000000010001$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \vdots$

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