Por ejemplo, considerando un conjunto de planetas representados como masas puntuales que crean un campo gravitatorio, ¿habrá siempre, sea cual sea el conjunto de puntos, un lugar en el que pueda estar de pie sin que actúe ninguna fuerza neta sobre mí? Para un caso simple de dos o tres cuerpos, parece que siempre hay un punto o una región, pero no estoy seguro de que se generalice a todos los casos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Rob Dickerson
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Depende. Como señala Robert en los comentarios, hay casos triviales en los que no hay tales puntos, pero en algunos casos (más de una masa puntual), siempre debe haberlos.
Matemáticamente hablando, lo que se pregunta es lo siguiente: dado el potencial gravitatorio $V(x)$ debido a algún conjunto de cuerpos masivos, ¿existe algún punto $x$ donde la fuerza $-\nabla x =0 $ ? En otras palabras, ¿se $V$ ¿tiene algún punto crítico?
Supongo que no consideras que un punto ocupado por un cuerpo sea un punto de equilibrio. En ese caso, la forma de $V(x)$ es muy especial: porque el potencial gravitatorio es armónico, $V$ satisface el principio de máxima: $V$ no puede tener ningún máximo o mínimo local excepto en los puntos de masa. Así que cualquier punto de equilibrio $\nabla V = 0$ deben ser puntos de la silla de montar.
¿Es posible que $V$ tiene no ¿puntos de sillín? Pues sí... si tienes un solo cuerpo. ¿Y si tiene varios cuerpos? El caso más sencillo es si te limitas a partículas puntuales. Entonces mira los conjuntos de niveles de $V$ para los valores de $V$ cercano a cero, el conjunto de niveles parece una única superficie cerrada con la topología de una esfera, que se aproxima a una esfera de radio muy grande alrededor del centro de masa de los puntos. Como $V$ va al infinito negativo, los conjuntos de niveles parecen muchas esferas diminutas, una alrededor de cada punto de masa. En algunos valores de $V$ La esfera grande debe dividirse en varias esferas más pequeñas, y en estos lugares donde los conjuntos de niveles cambian de topología, debe haber puntos de silla de montar.
¿Y si sus cuerpos no son masas puntuales? Las ideas se complican. Puedes construir ejemplos en los que tienes varios cuerpos pero no hay puntos de equilibrio. Quizá lo más fácil sea pensar en 2D: considera dos líneas infinitas, una $y=1$ con una densidad de 2 kg/m y la otra $y=-1$ con una densidad de 1 kg/m. Es un ejercicio fácil demostrar que el potencial gravitatorio es lineal a trozos en $y$ (parece algo así como este ) con un mínimo global a lo largo de la línea superior y sin puntos de silla de montar.
