Calcular o aproximar $\sum\limits_{k=801}^{849}{ \binom {2400} {k}} $

Question

¿Existe alguna fórmula que me ayude a calcular directamente la siguiente suma :

$$\sum_{k=801}^{849} \binom {2400} {k} \text{ ? } $$

¿O puede ayudarme para una aproximación?

Answer 1

$$ \sum_{k=801}^{\color{red}{849}}{ \binom {\color{blue}{2400}} {k}} \approx\binom {\color{blue}{2400}} {\color{red}{849}}\cdot\frac1{1-\frac{\color{red}{849}}{\color{blue}{2400}-\color{red}{849}}}=\binom {2400} {849}\cdot\frac{1551}{702} $$ El RHS es aproximadamente $6.323\cdot10^{675}$ . El LHS es aproximadamente $6.302\cdot10^{675}$ . El error relativo es inferior a $0.5\%$ .

Answer 2

Puede calcularse mediante Sum([801..849],k->Binomial(2400,k)); en GAP , lo que da:

6301658589252789789015394548565753645266501707773027193237154277135560724763449264321985233013302083482867404033075780563717296980953719800345900949177485867102506636266227692550924263009975743334850017707243878849834456104549363646796461925922393903588452037583051589363088432111720742572219650413596433425388801991237454447814199442671137445437352797716466882851664850702263146918207481280464655954611009667731242187491732271534642120317745100700127873871822642415935966102219060535417049206248240674733546894430281964131727432744187261341581666985170681694633765243107624160397671919189350311078072089739085127819403410647241830980073127572833414340863527184811939282852420

Esto es aproximadamente $6.30 \times 10^{675}$ .