¿Por qué distinguimos entre cardinalities infinitos pero no entre valores infinitos?

Question

Concretamente, ¿por qué nos "permitimos" para denotar $|\mathbb{N}|<|\mathbb{R}|$ pero no $\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}1<\sum\limits_{r\in\mathbb{R}}1$?

¿Podemos distinguir entre "divergencia contable" y "divergencia incontable"?

Pido disculpas por adelantado por el "ingenuo más bien" pregunta.

Answer 1

Así, el Cardenal Aritmética, Natural de la Aritmética, y Real de la Aritmética son todos diferentes cosas. Al menos para mí, además, en cada caso, significa algo completamente diferente.

El cardenal Aritmética tiene que ver con la adición de conjuntos, que es realmente más cerca (discontinuo) de la unión modded por una relación de equivalencia (es decir, bijection). En esta área, podemos decir que $|A| = |B| \iff$ existe un bijection entre los dos conjuntos. Así, cuando decimos algo como $\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$, en realidad estamos diciendo simplemente que existe un bijection entre el$\aleph_0 \sqcup \aleph_0$$\aleph_0$. Decimos que $\kappa < \mu$ si existe una inyección de$\kappa$$\mu$, pero ninguna de esas inyecciones son surjections. A partir de estas definiciones, se puede demostrar que hemos descrito con precisión una relación de equivalencia en la clase de conjuntos.

Natural de la Aritmética, o aritmético en $\mathbb{N}$ es la media aritmética que se aprende en la escuela. Si bien no podemos conocer todos los axiomas de la aritmética (en primer lugar, porque el conjunto de axiomas para la verdadera aritmética no es recursiva) la teoría básica es el bastante mucho la misma como Finito Cardenal Aritmética. Las cosas cambian drásticamente cuando consideramos que No estándar de los modelos de la aritmética. En estos modelos de la aritmética, podemos sumar, restar, multiplicar y a veces dividir números que son más grandes que el estándar de los números naturales. Podríamos tener un número $\tau$ tal que $\tau >n$ todos los $n$ en el modelo estándar. Además, $\tau + \tau \neq \tau$. Aquí, tenemos que $ \tau <\tau + \tau = 2\tau $ y cómo habría que pensar Natural Aritmética podrían trabajar en números muy grandes (con una interpretación libre de los grandes). También debe indicarse, sin embargo, debido a un teorema de Tennenbaum, que ninguno de estos aritmética no estándar de los modelos son computables, es decir, no podemos verdaderamente calcular nada.

Finalmente, el Real Aritmética tiene dos significados separados que voy a llamar de Primer Orden Real de la Aritmética (FOROS), y la Medida Aritmética (MA). Ahora, los FOROS es similar a la suma, la multiplicación, la división, lo que tienes, en los reales. Sin embargo, sólo podemos utilizar finita de fórmulas, tan infinitas sumas no puede ser manejado por los FOROS. FOROS es el modelo de la teoría de la perspectiva real de la aritmética y de la misma manera que los naturales de la aritmética puede tener super grandes números naturales, los FOROS pueden tener super enorme ampliación de los números reales, así como super pequeños números reales (conocido como infinitesimals.

La medida Aritmética de la recta real es donde la integración se lleva a cabo. Prácticamente hablando, la integración es la forma en la que uno de sumas de números reales en la forma discreta de sumas no funcionan. El problema es, supongamos que queremos calcular algo como $\sum_{i\in [0,1]} 1$. Si simplemente hacemos uso de la integración, o natural de la notación, $\int_0^1 1dx$, se calcula que esta suma es igual a 1.

Finalmente, como Jack D'Aurizio señaló, infinitas sumas de dinero se define como el límite finito de sumas. No hay más que decir acerca de lo bonito de un infinito cardenal $\aleph_0$ (prácticamente, ya que es el límite finito de cardenales (y sabemos cómo manipular finito cardenales), nos da un gran control sobre lo que puede suceder ya que las cosas tienden a). Pero espero que esto aclare algunos conceptos!

Edit: Ahora que lo pienso más, incluso en Lógicas como $L_{\mu,\kappa}$ usted no puede hablar de infinito las sumas de los reales. El principal problema es que no existe un método estándar para tratar con los términos de multitud de longitud. Usted puede, sin embargo, discutir fórmulas con innumerables longitud.

Addendum: acabo de encontrar un viejo papel por Keisler que trata con un sistema formal con infinitary funciones. Echa un vistazo a la sección 5 si usted está interesado. Pero me advierten que es bastante notationally denso y difícil de analizar.

Answer 2

Permítanme añadir a Kyle de la respuesta que en el cardenal aritmética tiene una bien definida la noción de multitud de sumas. Porque no estás tratando de calcular un número real, más bien usted está buscando un cardenal.

Si usted está buscando en la suma de $\sum_{r\in\Bbb R}1$ como valor real de la suma, entonces, de hecho, es una cosa extraña para escribir. Pero mirando al cardenal suma, esto tiene el sentido perfecto, y el cardenal es exactamente $2^{\aleph_0}$. Del mismo modo, $\sum_{n\in\Bbb N}1=\aleph_0$ como cardenal suma, y es sólo una divergente la serie cuando mirarlo como un valor real de la suma.

Así que el contexto es clave.