Simple número complejo problema: $1 = -1$

Question

Posibles Duplicados:
-1 no es 1, entonces, ¿dónde está el error?

Estoy tratando de comprender el punto exacto de error en el siguiente razonamiento:

\begin{equation*} 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{\sqrt{-1}^2\sqrt{-1}^2} = \sqrt{(\sqrt{-1}\sqrt{-1})^2} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{-1}^2 = -1. \end{ecuación*}

He sido informado previamente de que el problema es debido a la raíz cuadrada de no ser una función en C, lo cual me pareció totalmente ineficiente. Podría alguien por favor explique el problema que se plantea aquí en términos más sencillos.

Editar:

Gracias a todos por sus comentarios, tratando de ayudarme a entender esto. Yo finalmente lo haga. La siguiente es la explicación de mis problemas en la comprensión de este, en caso de que va a ser de alguna ayuda para alguien más.

Mi problema era en realidad debido a la utilización de una definición incorrecta de i: $i = \sqrt{-1}$. Mientras que la definición correcta sería: $i^2 = -1$.

Mi definición incorrecta me llevó de razonamiento, tales como (lo que superficialmente parece dar los resultados esperados. Ahora veo que esto es incorrecto, demasiado):

\begin{equation*} \sqrt{-9} = \sqrt{9 * (-1)} = \sqrt{\sqrt{9}^2 \sqrt{-1}^2} = \sqrt{(\sqrt{9} \sqrt{-1})^2} = \sqrt{9} \sqrt{-1} = 3i. \end{ecuación*}

En su lugar, había utilizado la definición correcta de la i:

\begin{equation*} {(xi)}^2 = x^2i^2 = -x^2 = -9, \\ x^2 = 9, \\ x = +- 3. \end{ecuación*}

Ahora, el análisis de las ecuaciones en el problema original, puedo ver al menos los dos errores siguientes:

1) En la tercera =, estoy confiando en $-1 = {\sqrt{-1}}^2$, mientras que yo debería basarse en: $-1 = (+-\sqrt{-1})^2$, lo que sería, por supuesto, dar dos ramas diferentes. Hmm.. en la segunda lectura, esto no es realmente un problema, ya que incluso con las dos ramas separadas, tanto de ellos conduce al resultado en el siguiente paso.

2) En el quinto =, estoy confiando en $\sqrt{i^4} = i^2$, lo que sería correcto, si yo no era un número negativo en R. Pero como i es la unidad imaginaria y en C: $\sqrt{i^4} = \sqrt{i} = +-(1/\sqrt{2})(1 + i)$.

Answer 1

Usted necesita prestar la atención a las ramas de varios valores de las funciones, por ejemplo, ver la explicación de Wikipedia aquí. Similares menos trivial de preguntas que a menudo surgen cuando simbólico matemático sotfware de sistemas de exhibición de errores debido a la falta de estancia en las principales ramas, por ejemplo, ver este hilo donde John McKay le pregunta cuál es tu favorito de sistema devuelve para $(-1)^{5/9} - (-1)^{2/9} - (-1)^{8/9}$. Usted puede encontrar estos debates instructivo.

Para el lector que puede estar interesado en los algoritmos véase, por ejemplo,

Thomas Breuer. sam@math.rwth-aachen.de
Integral de las Bases para los Subcampos de Cyclotomic Campos. AAECC 8, 1997, 279-289 http://www.springerlink.com/content/qnuu0knap4fl3kjt/fulltext.pdf

Resumen. Integral de las bases de cyclotomic campos están construidos que permiten a determinar fácilmente el más pequeño cyclotomic campo en el que una determinada suma de las raíces de la unidad se encuentra. Para los subcampos de cyclotomic campos integral de las bases se construyen que consisten en órbita sumas de Galois grupos en las raíces de la unidad. Estas bases son estrechamente relacionado con las bases de la envolvente cyclotomic campos mencionados anteriormente. En ambas situaciones las bases sobre los racionales y más de cyclotomic campos son tratados.