Demostrar que un homomorfismo de anillo de un campo a un anillo es inyectivo

Question

Una pregunta similar a esta se ha hecho aquí, disculpas, pero necesito aclarar algo al final

Nuestra pregunta de tarea era demostrar que cualquier homomorfismo de anillo $f:K\rightarrow R $ (donde K es un campo, R es un anillo) es inyectiva.

Así que por definición de un homomorfismo de anillo, $ker(f)$ es un ideal en K. Por K un campo $\Rightarrow$ los únicos ideales son $\{0\}, K$

$ker(f)={0} \Rightarrow f$ es inyectiva, por definición de un homomorfismo de anillo inyectivo.

Sin embargo, respondí diciendo que $ker(f)=K \Rightarrow$ f es el mapa cero, $f(k)=0\ \forall k\in K$ . Así que $f$ es inyectiva o es el mapa cero.

A lo que mi corrector preguntó: "¿Es el mapa cero un homomorfismo de anillo?"

Obviamente, si tienes algo como $f:\Bbb R \rightarrow \Bbb Z_4 $ entonces $f(1_R)=f(1)=0 \ne 1 $ por lo que no puede ser un homomorfismo de anillo

Pero si consideras $f:\Bbb R \rightarrow \{0\} $ entonces $f(1_R)=f(1)=0 = 1_0 $

¿Funciona esto como un homomorfismo de anillo? Entonces, ¿puede el mapa cero ser a veces un homomorfismo de anillo?

Answer 1

Tenemos que distinguir entre dos estructuras algebraicas con homomorfismos adecuados entre ellas (de hecho, constituyen _categorías_ )

$\bullet$ Anillos (que siempre asumo como unital) con homomorfismos de anillos.

Como siempre, un homomorfismo de blupp preserva toda la estructura de blupp, así que en particular para blupp=Ring se preserva la unidad por definición . Esta definición es (o debería ser...) universalmente aceptada.

$\bullet$ Rngs o anillos no unitarios con homomorfismos de rngs

Siguiendo el principio general, un homomorfismo de rngs preserva la suma y la multiplicación (y entonces también los inversos aditivos y el cero), pero no la unidad porque no hay ninguno .

Existe el llamado _functor olvidadizo_ de Rings a Rngs que olvida la unidad. Obsérvese que si $R$ es un anillo, el rng subyacente $|R|$ es un objeto diferente (y de forma similar para los homomorfismos). Esto se suele ignorar en los libros de texto y en las clases, lo que lleva a confusiones absolutas. Problemas similares surgen con otros funtores olvidadizos. Estos problemas acabarán inmediatamente cuando nos tomemos en serio los funtores olvidadizos. Desgraciadamente, algunos autores consideran anillos con unidad pero consideran también homomorfismos no unitarios entre ellos, lo que no tiene ningún sentido porque esto ignora en realidad los principios generales del álgebra universal, aplica secretamente el funtor olvidadizo todo el tiempo y no se toma los anillos en serio. Y algunos autores incluso no consideran $0$ como un anillo porque "no tiene unidad", ¡sic! Por supuesto que el anillo cero es un anillo. Hace bastante frío estos días, así que los libros que siguen este enfoque harían un fuego cálido ...

De todos modos, ahora la pregunta tiene fácil respuesta:

Dejemos que $f : R \to R'$ sea un homomorfismo de anillos (preservando así la unidad por definición). Entonces $f=0$ si $R'=0$ . No importa si $R$ es un campo o no, la condición no depende de $R$ en absoluto.

Por otro lado, siempre hay un homomorfismo cero de los rngs subyacentes $0 : |R| \to |R'|$ . Obsérvese, una vez más, que se trata de objetos diferentes a los propios anillos.

Answer 2

Si suponemos que tu instructor es competente, entonces cuando pregunta "¿es el mapa cero un homomorfismo?", no está afirmando necesariamente que nunca es, sino simplemente señalar que su respuesta es incompleto hasta que incluyas alguna discusión sobre las circunstancias en las que es un homomorfismo -- concretamente que es un homomorfismo (unital) exactamente cuando el codominio es el anillo cero.

Por supuesto, el problema de los deberes es defectuoso cuando te pide que demuestres algo que no es estrictamente cierto. Eso sólo significa que el la solución perfecta señalará el defecto y encontrará la manera de repararlo con todo rigor. Parece que no ha quedado claro en su solución si estaba equivocado (y pensó que el mapa cero es siempre una solución), o fue a la derecha (y estaban contemplando el anillo cero), pero simplemente no escribieron sus pensamientos correctos por completo.