Terminología: ¿Cómo deberíamos llamar $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Question

Me pregunto, ¿como llamamos el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$? Sé que $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ se llama un anillo de enteros cuadráticos. Pero ¿tenemos algo similar para $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$? Siento si la pregunta parece un poco tonta, pero me no he topado con este término antes. :(

Muchas gracias

Y tenga un buen día,

Answer 1

Subrings no máximo de anillos de enteros algebraicos han sido llamados «órdenes» (del alemán, creo) durante mucho tiempo, aunque obviamente esto no es una opción muy distintiva, el vocablo (en inglés) para muchos otros propósitos. Aún así, es estándar, lo que puede decir "el orden $\mathbb Z[\sqrt{5}]$ en el anillo de enteros algebraicos $\mathbb Z[{1+\sqrt{5}\over 2}]$."

Answer 2

Anillos de la forma ${\mathbf Z}[\sqrt{d}]$ no son los más generales tipo de orden de una ecuación cuadrática de campo. Para distinguirlos, un término que me gusta usar es pura cuadrática anillo, donde "puro" se refiere a tener un anillo generador que es una pura raíz cuadrada $\sqrt{d}$ (frente a algo como generador de $(1+\sqrt{5})/2$). Yo llame cúbicos pedidos de la forma ${\mathbf Z}[\sqrt[3]{d}]$ puro cúbico anillos. La mayoría de los cúbico anillos (= pedidos en metros de los campos) no son generadas por una pura raíz cúbica. Por supuesto, una pura raíz cúbica es la misma cosa como una raíz cúbica, y puro de la raíz cuadrada es la misma cosa como una raíz cuadrada (de un entero). La etiqueta de "puro" es sólo para dar énfasis.

No creo que esta terminología es generalizada. (Intente buscar en google "puro cuadrática anillo" o "puro cúbico anillo", y asegúrese de usar comillas ya que de lo contrario, en el caso de puro cúbico anillo, usted va a ser inundado con las páginas web acerca de los anillos de puros de circonio cúbico). Pero se siente natural, ya que el término "pura cúbicos de campo" para cúbicos campos de la forma ${\mathbf Q}(\sqrt[3]{d})$ es común en la teoría de números. Ver Henri Cohen "Un Curso Computacional de la Teoría Algebraica de números".