Cambio de la integral doble de variables

Question

Tengo %#% $ #%

$$\iint_A \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.$ está delimitado por el % de condiciones $A$y $x^2 + y^2 \leq 1$.

Inicialmente pensé en hacer el cambio de las coordenadas polares, pero la línea $x+y \geq 1$ es lo que es difícil encontrar los límites de integración.

Answer 1

$$ x + y = r(\cos\theta+\sin\theta) = r\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac\pi2\right). $$ Así $ \iint_A \frac{dx\,dy} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} = \int_0^{\pi/2} \int_{(\csc(\theta+\pi/4)) / \sqrt {2}} ^ 1 \frac{r\,dr \, d\theta} {r ^ 4}. $$ $$ = \int_0^{\pi/2} \left(\int_{(\csc(\theta+\pi/4))/\sqrt {2}} ^ \frac{dr}{r^3 1\} \right) \, d\theta $$

Answer 2

Si usted gira su dominio $45$ grados su línea se convierte en $y=\sqrt{2} / 2$ y el integrando es invariante, por lo que se (también utilizar la simetría con respecto a los $x=0$): $$ \iint_A \frac{1} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} = 2\int_0 ^ {\sqrt 2/2} \,dx\int_ {\sqrt 2/2} ^ {\sqrt {1-x ^ 2}} \frac{dy}{(x^2+y^2)} $$

Answer 3

Esta es otra respuesta

$$\iint_A \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx .$$

Answer 4

El % integral $Q$permanece sin cambios cuando vuelva a colocar $A$ $$A':=\left\{(x,y)\ \bigg|\ x\geq{\sqrt{2}\over 2}, \ x^2+y^2\leq 1\right\}\ .$ $ cambiando a coordenadas polares obtenemos %#% $ de #% la integral interior calcula que $$Q=\int_{A'}{1\over (x^2+y^2)^2}\ {\rm d}(x,y)=\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \int_{1/(\sqrt{2}\cos\phi)}^1 {1\over r^4}\> r\> dr\ d\phi\ .$ $ sigue ese % $ $${-1\over 2r^2}\biggr|_{1/(\sqrt{2}\cos\phi)}^1=\cos^2\phi-{1\over2}={1\over2}\cos(2\phi)\ .$