¿Cómo uno demostrar que cualquier subconjunto cerrado, convexo y acotado de un espacio de Hilbert es la intersección de las bolas cerradas que contienen?
Respuesta
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Deje $K$ ser convexo, cerrado y acotado conjunto y deje $L$ ser la intersección de la cerrada que contiene bolas de $K$. Claramente $K\subseteq L$.
Si esta inclusión es correcta, entonces la traducción podemos suponer que la $0\in L\setminus K$.
$K$ es convexo y cerrado, por lo que puede elegir un apoyo hyperplane $\Pi$ ortogonal a$k\in \Pi\cap K$, de modo que $K\subseteq\Pi_+=k+\{h\in H:\mbox{Re}(h,k)\ge0\}$. Por la escala, podemos suponer que la $\|k\|=1$.
Para $r>0$, considerar el cerrado bolas $B_r$ radio $r$ y el centro de la $(\frac12+r)k$. Tenemos $\bigcup_{r>0}B_r\supseteq\Pi_+\supseteq K$. Desde $K$ es acotado, no es$r>0$$B_r\supseteq K$. Desde $0\not\in B_r$ por construcción, $0\not\in L$, una contradicción.
