Contraejemplo de $f_ng_n \not\to fg$ en medida

Question

Estoy buscando un par de secuencias $f_n \to f$ en medida, $g_n \to g$ en medida, donde $f_ng_n \not\!\to fg$ en medida.

He probado varias cosas con funciones características que se mueven con $n$ y no parece que nada funcione. También he intentado buscar medidas que no sean de Lebesgue, como la medida de conteo. Al menos, me doy cuenta de que cualquier medida que se utilice no debe ser finita, o de lo contrario $f_ng_n \to fg$ siempre es cierto.

¿Alguna pista?

Answer 1

El contraejemplo clásico que conozco es el de la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ , $f_n=g_n=x+\frac{1}{n}$ y $f=g=x$ . Entonces, obviamente, tenemos $f_n\to f$ y $g_n\to g$ en medida, pero $$f_ng_n=x^2+\tfrac{2}{n}x+\tfrac{1}{n^2}\not\to x^2=fg$$ en medida porque para cualquier $\epsilon>0$ y $n\in\mathbb{N}$ . $$\{x\in \mathbb{R}\mid \tfrac{2}{n}x+\tfrac{1}{n^2}\geq\epsilon\}=[\tfrac{n^2\epsilon-1}{2n},\infty)$$ tiene una medida infinita, por lo que para cualquier $\epsilon>0$ , $$\lim_{n\to\infty}\mu(\{x\in\mathbb{R}\mid |f_ng_n(x)-fg(x)|\geq\epsilon\})=\lim_{n\to\infty}\infty=\infty$$ Siento no saber dar una buena pista para esto; yo tampoco lo vi por mi cuenta, alguien me lo señaló. En retrospectiva la intuición es que configuramos las cosas de manera que la brecha entre el $f_n$ y $f$ y $g_n$ y $g$ cuando se multiplica, se "amplifica" (ya que $\frac{2}{n}x+\frac{1}{n^2}$ depende de $x$ mientras que $\frac{1}{n}$ no lo hace).

Answer 2

También puede hacerlo con medida de conteo en $\mathbb{N}$ y funciones de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ . Sea

$$\begin{align*} x_n&:\mathbb{N}\to\mathbb{R}:k\mapsto 2^{-n}\;,\\ x&:\mathbb{N}\to\mathbb{R}:k\mapsto 0\;,\text{ and}\\ y,y_n&:\mathbb{N}\to\mathbb{R}:k\mapsto 2^k\;. \end{align*}$$

Para $m,n\in\mathbb{N}$ tenemos

$$\begin{align*} \mu\big(\{k\in\mathbb{N}:|x_n(k)-x(k)|\ge 2^{-m}\}\big)&=\mu\big(\{k\in\mathbb{N}:2^{-n}\ge 2^{-m}\}\big)\\ &=\begin{cases} \infty,&n\le m\\ 0,&n>m\;, \end{cases} \end{align*}$$

así que $\langle x_n:n\in\mathbb{N}\rangle\to x$ en medida, y obviamente $\langle y_n:n\in\mathbb{N}\rangle\to y$ en medida. Pero

$$x_ny_n:\mathbb{N}\to\mathbb{R}:k\mapsto 2^{-n}2^k=2^{k-n},$$

por lo que para $m,n\in\mathbb{N}$ tenemos

$$\begin{align*} \mu\big(\{k\in\mathbb{N}:|(x_ny_n)(k)-(xy)(k)|\ge 2^{-m}\}\big)&=\mu\big(\{k\in\mathbb{N}:2^{k-n}\ge 2^{-m}\}\big)\\ &=\mu\big(\{k\in\mathbb{N}:k\ge n-m\}\big)\\ &=\infty\;, \end{align*}$$

y $\langle x_ny_n:n\in\mathbb{N}\rangle$ no converge a $xy$ en medida.