$\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ es Galois $\mathbb{Q}$

Question

Estoy tratando de mostrar que $E = \mathbb{Q}\left(\sqrt{1-\sqrt{2}}\right)$ es de galois sobre $\mathbb{Q}$. La extensión tiene el polinomio mínimo

$$\left(x-\sqrt{1-\sqrt{2}}\right)\left(x+\sqrt{1-\sqrt{2}}\right)\left(x-\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)\left(x+\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)$$

pero no puedo gestionar para mostrar el uso del cálculo elemental que $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ $E$ (es decir, multiplicar, sumar, etc.) de modo que la división de campo.

El truco sería el uso de ese $\sqrt{1+\sqrt{2}} = \frac{i}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}$, pero sólo sabemos que $i\sqrt{\sqrt{2}-1}$ está en el campo, no sabemos si tenemos $i$.

Alguien puede dar una pista sobre cómo proceder, tal vez hay un teorema que podría utilizar que no estoy pensando.

Answer 1

El campo $E = \mathbb{Q}\left(\sqrt{1-\sqrt{2}}\right)$ es no una extensión de galois. Si fuera contener $\sqrt{1 + \sqrt{2}}$ como se indica en la pregunta y entonces $\mathbb{Q}\left(\sqrt{1-\sqrt{2}}\right)$ $\mathbb{Q}\left(\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)$ que es una extensión de grado 4 es $\mathbb{Q}\left(\sqrt{1-\sqrt{2}}\right)$ (el polinomio mínimo es $X^4-2X^2-1$ de ambos números), por lo tanto, esta inclusión sería una igualdad que no es el caso porque $\mathbb{Q}\left(\sqrt{1+\sqrt{2}}\right) \subset \mathbb{R}$ y $\sqrt{1-\sqrt{2}} \in \mathbb{C}$ y $\sqrt{1-\sqrt{2}} \notin \mathbb{R} $.