Sí. Voy a probar un lexema mediante la inducción, que voy a aplicar para probar el resultado. Voy a utilizar la convención de $[a, b]=a^{-1}b^{-1}ab$ en mis pruebas: el uso de una convención diferente no altera el resultado, y las pruebas a las que sería equivalente a la notación de los cambios.
Lema: Si $a$ $b$ han pedido dos, a continuación, el siguiente tiene.
Si $n$ es incluso, $[a,\underbrace{b,\ldots,b}_n]=(ba)^{2^n}$
Si $n$ es impar, $[a,\underbrace{b,\ldots,b}_n]=(ab)^{2^n}$
Prueba: Nos introducirá en $n$. Si $n=1$$[a, b]=a^{-1}b^{-1}ab=abab=(ab)^2$, por lo que el resultado se mantiene.
Hay dos casos para el paso de inducción: $n=k-1$ es incluso, o $n=k-1$ es impar. Supongamos que el resultado vale para $n=k-1$ donde $n=k-1$ es impar. Vamos a probarlo para $k$. Así, comenzar con la siguiente.
$$\begin{align*}
[a,\underbrace{b,\ldots,b}_k]
&=[a,\underbrace{b,\ldots,b}_{k-1}, b]\\
&=[(ab)^{2^{k-1}}, b]\\
&=(ab)^{-2^{k-1}}b(ab)^{2^{k-1}}b\\
&=(ba)^{2^{k-1}}(ba)^{2^{k-1}}\\
&=(ba)^{2^{k-1}+2^{k-1}}=(ba)^{2^{k}}
\end{align*}$$
La prueba de $n=k-1$ impar es análogo.
Teorema: En un grupo de exponente $2^n$, la siguiente identidad se mantiene.
$$[x^{2^{n-1}},\underbrace{y^{2^{n-1}},\ldots,y^{2^{n-1}}}_n]=1$$
Prueba: Desde el anterior lema, podemos ver que $[x^{2^{n-1}},\underbrace{y^{2^{n-1}},\ldots,y^{2^{n-1}}}_n]$ es igual a $(x^{2^{n-1}}y^{2^{n-1}})^{2^n}$ o $(y^{2^{n-1}}x^{2^{n-1}})^{2^n}$. Como el grupo ha exponente $2^n$, el resultado de la siguiente manera.
