Cuando vectores actúan en escalares.

Question

De fondo. He estado luchando a través de una introducción a la geometría diferencial de este semestre. Recientemente, una pequeña parte de lo que hemos estado aprendiendo "clic" para mí, y para consolidar esta, me gustaría obtener más información y, sobre todo sólo entender la terminología relevante.

Por lo tanto esta pregunta.

Fijar un suave colector $M$. Por un scalarfield en $M$, me refiero a una función suave $M \rightarrow \mathbb{R}$. Escribir $S$ para el anillo de scalarfields en $M$. Por un vectorfield en $M$, me refiero a una derivación en $S$; de forma explícita, esto es una $\mathbb{R}$-función lineal $v : S \rightarrow S$ la satisfacción de las Leibniz producto de la ley: $$v(s_0 s_1) = v(s_0)s_1 + s_0 v(s_1)$$

Escribir $V$ para la colección de vectorfields en $M$.

Hay algo extraño acerca de esta situación. En el álgebra conmutativa estoy familiarizado con, "escalares" (es decir, los elementos de algunos conmutativa anillo) actuar en "vectores" (es decir, los elementos de algunos abelian grupo). Eso es ciertamente el caso aquí; tenemos una función multilineal: $$S, V \rightarrow V$$

que satisface $s_1(s_0v) = (s_1s_0)v$$1_S v = v$, por lo tanto $V$ $S$- módulo.

Sin embargo también podemos ir a otro lado; vectorfields puede actuar en scalarfields por $v,s \mapsto v(s)$. Esto le da un multilineal función: $$V,S \rightarrow S$$

Satisface $v(s_0s_1) = v(s_0)s_1+s_0 v(s_1)$.

Además, estas dos acciones están relacionadas por: $s_0 (vs_1) = (s_0 v)s_1$

Además, dado $s \in S$, podemos definir la diferencial de $ds : V \rightarrow S$ escrito $ds(v) = v(s)$. Por lo tanto $ds$ es un elemento del espacio dual $V^*,$ donde $V$ es visto como un $S$-módulo.

Pregunta. La terminología que rodea a esta situación? Por ejemplo:

• ¿Cómo llamamos a multilineal mapas de $V,S \rightarrow S$ que satisfacen la de Leibniz de la ley?
• ¿Qué tipo de estructura está formada por el conjunto de datos de paquete que consta de $S$$V$, junto con las acciones de $S,V \rightarrow V$$V,S \rightarrow S$?
• Son otros hay relaciones básicas aquí que realmente necesita para estar al tanto? Si entiendo correctamente, $V$ formas de un "álgebra de la Mentira", pero no estoy seguro de la importancia de esta.

Answer 1

Lineal en el mapa de $S\to S$ la satisfacción de la regla de Leibniz se llama derivación.

Parece que tú ya sabes mucho. Tal vez ahora usted debe familiarizarse con el lenguaje de vector de paquetes. Por ejemplo, una función suave $M\to\mathbb{R}$ puede ser considerado como una sección de la trivial bundle $M\times\mathbb{R}$. La tangente bundle $TM$ se compone de todos los tangente espacios en todos los puntos de $M$. Por lo tanto, un campo vectorial es una sección de la tangente paquete. La cotangente del paquete de $T^*M$ es el doble a la tangente del paquete. Por lo tanto, el diferencial de una función es una sección de $T^*M$. En general, una sección de $T^*M$ se llama diferencial de la $1$-forma. Tomando tensor de productos de la tangente y la cotangente paquetes, podemos obtener muchos otros vector de paquetes. Cualquier sección de un paquete que se llama un campo tensorial.

Sí, la colección de campos vectoriales forma un álgebra de la Mentira. El significado más básico de esta norma es la existencia de el operador $[\cdot,\cdot]$ come de dos campos vectoriales y escupe otro vector de campo. Este operador está definida únicamente por la propiedad$$[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)),\qquad X,Y\in V,f\in S.$$