Dos fórmulas para una partícula ' aceleración de s

Question

Mientras que en una clase de mi profesor estaba tomando sobre la partícula de movimiento en el espacio. En algún momento ella dijo lo siguiente: Considerar la posibilidad de que la partícula de la trayectoria descrita por una curva en el espacio definido por las ecuaciones paramétricas $x^i=x^i(s)$ donde $x^i$ son las coordenadas en el espacio y el $s$ de la longitud a lo largo de la curva. Las partículas de velocidad está dado por $$\tag{1} v^i=\frac{dx^i}{dt}=\frac{ds}{dt}\frac{dx^i}{ds}=v~e^i,$$ donde $v=ds/dt$ es la partícula a la velocidad y el $e^i=dx^i/ds$ es un vector unitario tangente a la curva. Entonces ella escribió que la partícula, la aceleración sería dada por: $$\tag{2} a^i=\frac{dv^i}{dt}=\frac{ds}{dt}\frac{d(v~e^i)}{ds}=v^2 \left(\frac{de^i}{ds}\right)+e^iv\frac{dv}{ds}.$$

Entonces empecé a vagar, ¿cuál es la relación entre esta fórmula para la aceleración y, a continuación, uno utilizando la derivada covariante: $$\tag{3} a^i=v^j~\nabla_j~v^i=v^j\left(\partial_j v^i+\Gamma^i_{k j}v^k \right)=\dot{v}^i+\Gamma^i_{k j}~v^k v^j~,$$ donde $\Gamma^i_{k j}$ son los Chritoffel símbolos de segunda clase? Sé que tendría que haber preguntado a ella de inmediato, pero ella salió muy rápido de la clase. Alguien me puede ayudar? Me parece que no puede demostrar que las fórmulas son equivalentes.

Answer 1

Usted está teniendo problemas debido a que las expresiones no son iguales. En general, la curvatura del espacio (múltiple), la definición de la aceleración es la que escribió el uso de la derivada covariante. Es decir, para un determinado parametrización $x^i = x^i(t)$ de la ruta nos define la velocidad como $v^i = \dot x^i$ y la aceleración como \begin{align} a^i = \dot v^i + \Gamma^i_{jk}v^jv^k \end{align} donde el overdot denota la diferenciación con respecto al argumento de una función dada. Observe, en particular, que la aceleración no es en general igual a $\dot v$ como usted indica en su segunda cadena de ecuaciones. Esto es cierto sólo si \begin{align} \Gamma^i_{jk}v^iv^k = 0. \end{align} Este sería, por ejemplo, el caso de las coordenadas cartesianas en $\mathbb R^3$, porque entonces, los símbolos de Christoffel todos se desvanecen.