Feynman dice que el campo eléctrico, $\bf{E}$, puede ser escrita como,
$$\mathbf{E} = \frac{-q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{ \mathbf{e}_{r'}}{r'^2} + \frac{r'}{c} \frac{d}{dt} \left(\frac{\mathbf{e}_{r'} }{r'^2}\right) + \frac{1}{c^2} \frac{d^2}{dt^2} \mathbf{e}_{r'} \right]$$
donde $\mathbf{E}$ es el campo eléctrico en un punto, P, a partir de una carga, $q$, que es una distancia $r$ aparte. Mi impresión es que el $\mathbf{e}_{r'}$ es el vector unitario de P en la dirección de $q$, presumiblemente $\frac{r'}{||r'||}$.
El primero de los tres términos es la ley de Coulomb, el segundo término es un evidente retardo de tiempo de Coulomb campo, y la tercera es el principal factor que contribuye a que el campo eléctrico para una distancia grande $r$.
Debido a que la radiación se comporta como si fuera inversamente relacionada con la distancia y la distancia es grande, los dos primeros términos se ignoran lo que nos dejó, $$\mathbf{E} = \frac{-q}{4 \pi \epsilon_0 c^2 } \frac{d^2 \mathbf{e}_{r'}}{dt^2}.$$
Una mayor simplificación se solicita para cuando "los cargos se están moviendo sólo una pequeña distancia, en una tasa relativamente lenta." Ahora sostiene que el cargo del movimiento es tan pequeño que la distancia no cambia y por lo que el relé permanece $r/c$. Ahora, él dice,
A continuación, nuestra regla se convierte en la siguiente: Si el objeto cargado se está moviendo en un muy pequeño movimiento y es desplazado hacia un lado por la distancia a la $x(t)$, entonces el ángulo que el vector unitario $\mathbf{e}_{r'}$ se desplaza, se $x/r$, y desde $r$ es prácticamente constante, el $x$-componente de $d^2 \mathbf{e}_{r'}/dt^2$ es simplemente la aceleración de la $x$ sí mismo en un momento anterior, y así finalmente llegar a la ley que queremos, que es $$\mathbf{E}_x(t) = \frac{-q}{4 \pi \epsilon_0 c^2 r}a_x \left(t - \frac{r}{c}\right).$$
Ver aquí para la parte pertinente. Mi problema es que no entiendo cómo llegó a esta fórmula. Cómo me imagino a este escenario es lo que he dibujado: 
Me imagino a un vector unitario para $e_{r'}$ sentado en la oscuridad de la mancha, el punto P o donde se mide E, a lo largo de la línea de $r'$ y un correspondiente para $r$. El ángulo entre los dos vectores unitarios es pequeña, por lo que el $\sin \theta = \frac{x}{r} $, pero el ángulo es lo suficientemente pequeño para que la aproximación puede ser utilizado para dar $\theta = \frac{x}{r}$.
Lo que tengo problemas es hacer una fórmula de la forma $\mathbf{e}_{r'}(t)$. Yo creo que el $\mathbf{e}_r' = \frac{r'}{||r'||}$ sentido como punto de partida, pero lo que necesito para describir el comportamiento dependiente del tiempo. Parece como $r = \sqrt{r'^2 + x^2}$ es igualmente válido para escribir. Podríamos decir que el $r(t) = \sqrt{ r'^2 + x(t)^2}$ donde $x(t) = \dot{x} t$. Ahora la escritura, $r(t) = \sqrt{ r'^2 + \dot{x}t}$. Así que supongamos que queremos calcular $\frac{d e'_x}{dt} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{r(t+h) - r(t)}{h}}{||r'||} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\sqrt{r'^2 + \dot{x}(t+h)}) - \sqrt{r'^2 + \dot{x}(t)}}{h}}{||r'||}$, pero esto parece ser bastante desordenado ya y ni siquiera he abordado el problema de la segunda derivada.
Lo que me estoy perdiendo aquí?
EDIT: En RE Arte Marrón Respuesta
La siguiente imagen refleja mi comprensión de su descripción:
Efectivamente ignoramos cualquier $y$ componente de $\mathbf{e}_r$, pero todavía tenemos que expresar el $x$-componente de $\mathbf{e}_r$ antes de poder calcular su derivada segunda. Mirando en la parte superior de la vista parece que $\mathbf{e}_r (t) = \frac{r(t)}{||r(t)||}$. $x^2 + r(t)^2 = r'^2$ por lo tanto,$\sqrt{r'^2 -x^2} = r(t)$. Sabemos que $x(t) = \dot{x}t$, lo $$r(t) = \sqrt{r'^2 - (\dot{x}t)^2}$$
$$\frac{d^2 \mathbf{e}_r}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2} \frac{\sqrt{r'^2 - (\dot{x}t)^2}}{||\sqrt{r'^2 - (\dot{x}t)^2}||}$$
Que no es bastante.
Lo que realmente quiero decir es que $\frac{d^2 \mathbf{e}_r}{dt^2}$ es afectado por $x$$\ddot{x}= a_x$, pero este se retrasa $(t - r/c)$. Esto, sin embargo, parece que la mano ondulado para mí.
