$\text{rank}(AB^2)=\text{rank}(AB)$

Question

Permita$A$ y$B$ ser real$n×n$ matrices tales que$$AB=BA,~~\text{rank}(A^2)=\text{rank}(A),~~\text{rank} (B^2)=\text{rank}(B)$ $

Mostrar que:$$\text{rank}(AB^2)=\text{rank}(AB)$ $

Answer 1

Permita que$V =\mathbb{R}^n$ denote el espacio subyacente, de modo que$A, B:V \to V$. Los espacios$B(V)$ y$B^2(V)\subset B(V)$ tienen la misma dimensión y por lo tanto son iguales. Por lo tanto$$AB^2(V) = A(B^2(V)) = A(B(V)) = AB(V).$ $ Tomando dimensiones da el resultado.

Answer 2

Uso de la teoría de Sylvester: Rango $$ (AB ^ {2}) = Rango (B ^ {2}) - dim (Im (B ^ {2}) \ cap Ker (A) {2}) = Im (B) $$ puesto que $$ Rango (B ^ {2}) = Rango (B) $$

Por lo tanto, podemos obtener \begin{array} RRank(AB^{2}) &=& Rank(B^{2}) - dim(Im(B^{2}) \cap Ker(A) )\\ &=& Rank(B) - dim(Im(B) \cap Ker(A))\\ &=& Rank(AB) \end {array} Del proceso anterior, podemos ver que has dado condiciones mucho más con los términos redundantes $$ Rank (A ^ {2}) = Rank (A) \ quad AB = BA $$