Valor absoluto y función máx / min: ¿por qué$a + b + |a - b|=2\max(a,b)$?

Question

Se me dice que$a + b + |a - b|$ es igual a$2\max(a,b)$.

¿Cuál es el razonamiento detrás de esto?

Answer 1

Intuitivamente, observe que$\frac{a + b}{2}$ es el punto intermedio entre$a$ y$b$, y$\frac{|a - b|}{2}$ es la mitad de la distancia entre los dos números, ps

Answer 2

Al considerar los casos$a>b$ y$a\le b$, es fácil ver que $$ | ab | = \ Max (a, b) - \ min (a, b), \ tag {$note\colon |a-b| = |b-a|$} $$ y $$ a b = \ max (a, b) . $$ Añádalos ahora.

Answer 3

Si añade el$|a-b|$ al número más pequeño, lo hace igual al más grande; Entonces la adición del número original mayor produce el doble.

Answer 4

ps

Por lo tanto podemos decir que$$a+b+|a-b|=\begin{cases}a+b+a-b =2a & \text{when} \:a\ge b\\ a+b+b-a = 2b & \text{when} \:b>a\end{cases}$ $

Answer 5

El conjunto $\{a,b\}$ tienen como máximo, ya sea $a$ o $b$. Se puede argumentar que la igualdad desea mostrar por primera asumiendo $b$ es el máximo (luego hacer el mismo argumento si $a$ es el máximo). Así que supongamos $a < b$ (este mismo argumento podría trabajar en reversa si $b < a$).

$|a - b|$ es la distancia entre el$a$$b$, es decir, cuántas unidades de a pie de los más pequeños, $a$, para llegar a la más grande, $b$.

Ahora, si usted toma el $a$ y añadir $|a - b|$, es decir, se debe agregar el número de unidades que usted necesita para obtener de$a$$b$, ¿dónde acabará? Así, en $b$ de curso! Por lo $a + |a - b| = b$ donde $b$ es el máximo de $\{a,b\}$.

Ok, por lo $$\begin{split} a + b + |a - b| &= (a + |a - b|) + b \\ &= b + b \\ &= \max\{a, b\} + \max\{a, b\} \end{split}$$