Ecuación cuadrática ¿qué estoy haciendo mal?

Question

Resolver$$ \sqrt{5x+19} = \sqrt{x+7} + 2\sqrt{x-5} $ $

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Entonces calculo la solución usando el discriminante como$$ \sqrt{5x+19} = \sqrt{x+7} + 2\sqrt{x-5} \Rightarrow $ $ y$$ 5x+19 = (x+7) + 4\sqrt{x-5}\sqrt{x+7} + (x+5) \Rightarrow $ $

Pero cuando enchufar los valores descubro que están equivocados, ¿tiene que ver con el hecho de que cuadrar la ecuación dos veces? Si es así cuál es la mejor manera de ir sobre la solución de esta ecuación?

Answer 1

Se ha olvidado un factor$4$ y ha escrito$x+5$ en lugar de$x-5$ en la tercera línea, que debería ser $$ 5x 19 = x 7 4 \ sqrt {x 7} , \ Sqrt {x-5} 4 (x-5) $$ dando $$ 4 \ sqrt {x 7} \, \ sqrt {x-5} = 32 $$ o $$ \ sqrt {x 7 } \, \ Sqrt {x-5} = 8 $$ que se convierte, después de cuadrar, $$ x ^ 2 2x-99 = 0 $$ Las raíces de esto son$-11$ y$9$, Pero sólo esta última es una solución de la ecuación original, porque las condiciones de existencia sobre los radicales dan \begin{cases} 5x+19\ge0\\[3px] x+7\ge0\\[3px] x-5\ge0 \end {casos}, es decir,$x\ge5$.

Answer 2

\begin{align} \sqrt{5x+19}&=\sqrt{x+7}+2\sqrt{x-5}\\ 5x+19&=x+7+4(x-5)+4\sqrt{(x+7)(x-5)}\\ 32&=4\sqrt{(x+7)(x-5)}\\ 8&=\sqrt{(x+7)(x-5)}\\ 64&=x^2+2x-35\\ 0&=x^2+2x-99 \end{align}

Que da$x=9$ y$x=-11$ son las soluciones.

Pero ambos están dando algo así ..

$x=9\implies \sqrt {5(9)+19}=\sqrt{9+7}+2\sqrt{9-5}$$\implies\sqrt{64}=\sqrt{16}+2\sqrt{4}\implies 8=8$ Correcto sabe ... !!!!

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Pero por la serie de comentarios dados por los bien deseados .. yo podría entender$x=-11\implies\sqrt {5(-11)+19}=\sqrt{-11+7}+2\sqrt{-11-5}$ no es posible ...