EDIT: estoy aparentemente cuatro horas tarde :(
Suponiendo que las manecillas del reloj se mueven continuamente, parece que la respuesta podría ser que sí, puede. Una larga y explicación incompleta de la siguiente manera. Estoy bastante cansado y no estoy pensando correctamente, pero creo que esto va a llevar finalmente a una respuesta positiva.
La modelización del Escenario
Si los ángulos se miden en grados, entonces vamos a $T=\frac{1}{360}A_{SH}$$S=\frac{1}{360}A_{SM}$$B=\frac{1}{360}A_{MH}$. La motivación para la notación, para mantenerlo orientado, es que los segundos son muy Pequeñas en comparación con las horas, y Pequeños en comparación con los minutos. Entonces, relativamente hablando, los minutos son Grandes en comparación con las horas. Los factores de $360$ son simplemente para mantener todo entre $0$$1$.
Vamos a suponer también que los ángulos están orientados a las agujas del reloj, lo que significa que en $12$:$00$:$15$, tenemos $T\approx \frac14$, pero en $12$:$00$:$45$ tenemos $T\approx \frac34$. Creo que se podría hacer con ángulos perdidos, pero no puedo ver una manera de hacer esto que no recaer en muy feo de casos. Así, por simplicidad, vamos a mantener la orientación.
Vamos a hacer todo en términos de revoluciones $r$ de la aguja de las horas. Tenga en cuenta que podemos asumir que $0\leq r<1$. En una revolución de la aguja de las horas, la manecilla de los minutos hace 12 revoluciones, y la segunda parte se realiza 720 revoluciones. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones:
\begin{align*}
720r + S &= 12r + n & \text{for some }n\in\mathbb{Z}\\
12r + B &= r + k & \text{for some }k\in\mathbb{Z}\\
720r + T &= r + m & \text{for some }m\in\mathbb{Z}
\end{align*}
Las letras minúsculas actúan como variables de aquí. $r$ singularmente determinar el tiempo (desde que codifica exactamente cuántas horas han pasado desde la medianoche, a la precisión arbitraria) y los otros tres son simplemente contabilidad por el hecho de que tengamos para hacer el más rápido de la mano de go around muchas veces antes de caer en el lugar correcto con los demás. Ya que sólo se les permite ser enteros, nos aseguramos de que sólo llena las revoluciones son "el mismo".
Tu pregunta ha sido reducido a la nominalmente más corto pregunta "¿hay exactamente una $0\leq r<1$ que satisface las ecuaciones anteriores?"
La simplificación de las Ecuaciones
Primero combinamos la $r$ términos:
\begin{align*}
708r &= n - S & \text{for some }n\in\mathbb{Z}\\
11r &= k - B & \text{for some }k\in\mathbb{Z}\\
719r &= m - T & \text{for some }m\in\mathbb{Z}
\end{align*}
Queremos eliminar la $r$ y escribir todo en términos de los otros tres. Voy a hacer esto por primera colocando todo en una ecuación:
$$ r = \frac{n-S}{708} = \frac{k-B}{11} = \frac{m-T}{719}$$
y luego dividiendo de nuevo (me salto un montón de pasos aquí: para cada ecuación elegir dos términos y, a continuación, la cruz se multiplican, y se reorganizan para aislar las variables):
\begin{align*}
708k-11n &= 708B - 11S \\
719n-708m &= 719S - 708T \\
11m-719k &= 11T - 719B
\end{align*}
Un pequeño comentario aquí: tenga en cuenta que el lado izquierdo es sólo números enteros, por lo que el lado derecho sólo puede ser enteros así. Así que, de hecho, los ángulos de estos tres manos hacen no son arbitrarias; tienen estas relaciones ocultas. Bien, si usted trabaja, usted encontrar que las relaciones son básicamente los que se deben sumar a $360^\circ$, lo que en cierta manera de pensar no es muy misterioso.
Hacemos una última simplificación: desde la RHS elementos sólo son constantes, voy a ignorar sus detalles.
\begin{align*}
708k-11n &= \alpha & \text{for some }\alpha\in\mathbb{Z}\\
719n-708m &= \beta & \text{for some }\beta\in\mathbb{Z}\\
11m-719k &= \gamma & \text{for some }\gamma\in\mathbb{Z}
\end{align*}
La interpretación de una Solución
WolframAlpha va a resolver estas ecuaciones sin mucha dificultad:
\begin{align*}
0 &= 719\alpha + 11\beta + 708\gamma \\
n &= \frac{708k-\alpha}{11} \\
m &= -\frac{719\alpha}{7788}-\frac{\beta}{708}+\frac{719k}{11}
\end{align*}
La primera ecuación es irrelevante para nosotros, porque son constantes; se han obtenido a partir de la declaración del problema, por lo que no proporcionan ninguna información nueva.
Las otras dos ecuaciones nos dicen algo interesante, que es que el $k$ es una variable libre. Es decir, si eliminamos el entero de las restricciones, entonces hay una solución para cualquier $k$. Vamos a resubstitute la edad $SBT$ variables, para obtener (saltar de una buena oferta de álgebra, sólo la sustitución, a pesar de que)
\begin{align*}
n &= \frac{708}{11}(k-B)+S \\
m &= \frac{719}{11}(k-B)+T
\end{align*}
Bueno, esto es más simple: es $m-n-k=T-S-B$. Sin embargo, recuerde que hemos tenido algunas condiciones de antes, es decir, que $0\leq B,T,S<1$, y por lo tanto, $-2<T-S-B<1$. Sin embargo, desde la $m-n-k$ es un número entero, esto significa que $T-S-B$ es $0$ o $-1$.
En el primer caso, $m=n+k$. Sin embargo, podemos ir todo el camino de regreso a la original de tres ecuaciones para ver que si esto es cierto, entonces $720r+S-(720r+T) = 12r+n-(r+m)$$S-T=11r-k$. Reorganizar a $11r=S-T+k$. El LHS no es negativo, por lo tanto el $k\geq 1$ o$k=0$$S\geq T$.
En el segundo caso, $m=n+k-1$ y el mismo análisis muestra que $S-T=11r+1-k$, lo que dará $S-T+k-1=11r$, por lo que igualmente bien $k\geq 2$ o $k=1$$S\geq T$. Pero aviso que $r$ es el mismo que en el primer caso, de cualquier manera, así que podemos ignorar esto.
Además, $11r<11$, y por lo $k\leq 10$. Esto da, en general, de 11 posibles soluciones para $k$. (Hay doce posibilidades si $S\geq T$, pero siempre hay al menos once.) Además cada uno de estos da distintos valores de $r$.
Por lo tanto, hemos encontrado que para cualquier configuración válida de ángulos, hay, al menos, $11$ diferentes tiempos, que se puede encontrar para esa configuración.
Pensamientos De Despedida
Algunos avances se podría hacer utilizando un análisis similar. Con esto quiero decir, que me han mostrado cómo encontrar los posibles valores de $k$, y sustituyendo a otros pares de la original de tres ecuaciones se pueden encontrar posibles soluciones a $n$$m$. A partir de ahí, tienes que probar estas posibles soluciones, de alguna manera. No estoy seguro de cómo hacer esto, exactamente.
La fuerza bruta con un equipo que probablemente se podrían ejecutar en un tiempo razonable. Pero como un primer refinamiento, usted sabe que $m-n-k$ es $0$ o $-1$; esto debería reducir el número de casos a cheque de 5 millones de dólares a alrededor de 8.000. El cuarto conjunto de ecuaciones probablemente podría obtener cerca de 1.000.
Por otro lado, parece imposible que no existe posibilidad de "respetable" número de la teoría de la solución a este problema. Por desgracia, yo no soy capaz de encontrarlo ahora mismo :(
