Cuadrados irreducibles en anillo polinómico de dos variables sobre campo algebraicamente cerrado

Question

Actualmente estoy atascado en el problema 1.1 c) del libro de geometría algebraica de Hartshorne. No puedo dejarlo pasar. El problema es como dice el título (campo $k$ , variables $x$ y $y$ ).

El problema 1.1. a) y b) se refiere a los casos especiales $y-x^2$ y $xy - 1$ y clasificando los anillos cocientes resultantes (siendo isomorfos a un anillo de polinomios en una variable sobre $k$ en ambos casos, pero permitiendo exponentes negativos en el segundo).

c) me pide que demuestre que estos son los dos únicos resultados posibles, hasta el isomorfismo. Y no puedo. Se agradecería cualquier ayuda.

Una pregunta relacionada que se me ocurrió fue, si estamos en el caso b), ya que cualquier elemento en $k$ puede ser invertido, y x puede ser invertido, entonces seguramente, cualquier elemento del anillo puede ser convertido, y tenemos un campo. ¿Es esto así?

Answer 1

Una cuadrática irreducible corresponde a una cónica no sinular en $\mathbb{P}^2_k$ .

Elija tres puntos de la cónica y seleccione las coordenadas proyectivas para que estos puntos sean $(1:0:0)$ , $(0:1:0)$ y $(0:0:1)$ . En estas coordenadas, la cónica tiene la ecuación $cxy + ayz+bxz=0$ para un número de veces que no es cero $a,b,c$ (si alguno de $a$ , $b$ o $c$ son cero, entonces la cónica es singular). El reescalado mediante la multiplicación de $x$ por $a$ , $y$ por $b$ y $z$ por $c$ da que la cónica se puede escribir con la ecuación $xy+yz+xz = 0$ .

Esta cónica es isomorfa a la línea proyectiva $\mathbb{P}^1_k$ .

Las funciones regulares en la cónica $xy+yz+xz=0$ menos algún hiperplano son, por tanto, equivalentes a funciones regulares sobre $\mathbb{P}^1_k$ menos uno o dos puntos. Las funciones regulares sobre la recta proyectiva menos un solo punto dan $k[x]$ y las funciones regulares sobre la recta proyectiva menos dos puntos dan $k[x,x^{-1}]$ . Se obtiene esto último si y sólo si la cónica interseca a la recta en el infinito exactamente en un punto.

Añadido. Se me pasó tu pregunta "relacionada". No, no es cierto que $k[x,x^{-1}]$ es un campo: es el anillo de polinomios de Laurent con coeficientes en $k$ es decir, expresiones de la forma $$a_{-m}x^{-m} + \cdots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$$ para algunos enteros no negativos $m$ y $n$ . Pero esto no es un campo. Por ejemplo, $x-1$ no puede invertirse en $k[x,x^{-1}]$ .