¿Dónde puedo encontrar álgebra lineal en la naturaleza?

Question

Soy estudiante de Ciencias de la Computación y he estado estudiando Geometría Analítica y Álgebra Lineal este semestre. Hoy mi profesor dio una explicación infernal hablando de sistemas lineales, funciones cuadráticas, ecuaciones polinómicas, derivadas, etc., etc. En sus ejemplos, hablaba de Balística, del espacio y toda la materia, del "tejido" físico que recubre todo objeto, de los coches y su aerodinámica, etc. y yo estaba básicamente alucinando con tantas ideas locas.

La verdad es que me encantó este tema e incluso me he planteado estudiarlo más fuera de la Academia por curiosidad.

El caso es que no he podido encontrar más de estos ejemplos en los que el álgebra lineal se puede utilizar en la naturaleza. Conozco algunos posibles usos en la Informática como la Computación Gráfica, la Inteligencia Artificial, la criptografía, etc.

¿Alguien puede arrojar algo de luz?

Gracias.

Answer 1

Bien. Hay un montón de maneras en que el álgebra lineal puede ser utilizado para ver los aspectos de la naturaleza. Es una herramienta, al igual que el cálculo, y por lo tanto se puede utilizar de muchas, muchas, muchas maneras diferentes. Hablaré de 6: 3 aplicaciones relativamente sencillas y 3 no tan sencillas (o directas, al menos).

Los sistemas de ecuaciones lineales son el pan de cada día del álgebra lineal. Así que estudios como la química, que implican (como sabemos ahora) reacciones discretas de una cierta cantidad de moles de algunas sustancias en nuevas sustancias. En realidad no es trivial, ya que ninguna reacción química se produce por completo, y ninguna medición se realiza de forma perfecta. Así que averiguar, por ejemplo, que la combustión de 1 parte de metano en 1 parte de oxígeno devuelve dos partes de agua, una parte de dióxido de carbono y algo de calor es cierto, pero todas las observaciones de tales cosas estarán ligeramente desviadas. Así que también se pueden utilizar los mínimos cuadrados. Menos trivial aún es la idea de que varias sustancias se disuelven en diferentes recipientes de agua y luego se combinan. Si esto se repite con diferentes concentraciones, entonces se puede utilizar el álgebra lineal para resolver tanto los volúmenes de todas las soluciones utilizadas como la fórmula química del compuesto resultante en términos de las composiciones de la solución (esto es un poco detallado, así que no incluyo un ejemplo).

Esto también tiene grandes implicaciones en la economía. En el llamado modelo cerrado de economía de Leontief, se supone que durante el periodo de producción que se examina, ningún bien sale o entra en el sistema. Así, el número de bienes producidos y utilizados forma un sistema cerrado, y todo se suma de forma bonita y lineal. Entonces, la idea es que se puede medir y predecir el equilibrio de la economía sabiendo cuántas unidades de cada bien producen las industrias y cuántas se necesitan para producir otros bienes. La idea básica es que uno compila una matriz que contiene los insumos necesarios y las salidas resultantes de los bienes para las diferentes industrias (imagine que cada fila es una industria diferente, o empresa, o productor, etc. y cada columna representa un bien diferente, es decir, la base está sobre los diferentes productos - y no son ortogonales, ya que algunos productos se suman para dar otros productos). Entonces hay que poder multiplicar esta matriz por un vector mercancía-columna y obtener ese vector de vuelta para que el sistema esté equilibrado. Si no lo está, hay grandes problemas (los sistemas desequilibrados indican una economía insostenible).

Pero hay más, ya que también se puede analizar el modelo abierto de Leontief, en el que se permite la entrada y salida de bienes de la economía. Una forma sencilla de verlo es modificar el sistema anterior. Si $A$ es mi matriz productor/bien, y $p$ es mi vector producto, entonces la ecuación anterior era $Ap = p$ . Pero podríamos introducir un vector de demanda $d$ , indicando la entrada o salida de mercancías. A continuación, observamos $Ap + d = p$ . Esto permite analizar los niveles de producción de la economía y muchos otros aspectos. De nuevo, hay formulaciones más complicadas con álgebra lineal, pero quiero dar amplitud.

Daré una implicación más relativamente básica. Las tendencias genéticas se pueden modelar de forma eficiente con matrices. En particular, si conocemos los rasgos dominantes y el número de genes que afectan a un genotipo, podemos formar un vector con las probabilidades estimadas de que se produzca cada genotipo (probablemente mediante algún tipo de muestreo estadístico). Si formamos un producto exterior a partir de este vector (hacemos una especie de matriz), tenemos una matriz de probabilidad para los genotipos descendientes de dos padres. Encontrar los valores propios permite analizar el comportamiento a largo plazo. Además, las estimaciones y matrices de probabilidad similares nos permiten inferir el comportamiento pasado.

Se trata de tres aplicaciones de nivel inferior (en mi opinión, no hay nada riguroso en estas definiciones). Ahora, tres aplicaciones de nivel superior.

Los osciladores -cualquier cosa que se parezca a un movimiento armónico- suelen estar gobernados por sistemas lineales. ¿Por qué? Por la Ley de Hooke, que dice que la fuerza de un muelle es proporcional (es decir, lineal) a su desplazamiento. Un oscilador, sin embargo, es una cuestión de mecánica introductoria. Pero los osciladores acoplados sí lo son, para ser sinceros, duro (en mi opinión - algún físico está poniendo los ojos en blanco ante mi respuesta ahora). Por ejemplo, la configuración en la que tenemos una pared, un muelle, un cuerpo, un muelle, un cuerpo, un muelle, una pared -cada muelle es idéntico y la pista no tiene fricción- este sistema se rige por un conjunto lineal de ecuaciones. Quizás sean un poco ingeniosas, pero se pueden utilizar los valores propios para entender este sistema. De manera más general, los sistemas de ecuaciones diferenciales se entienden a menudo a través de grandes cantidades de cálculo y álgebra lineal, por lo que los sistemas menos triviales también se pueden entender (el objetivo sigue siendo encontrar los valores propios).

Los sociólogos están interesados en analizar las relaciones dentro de los grupos, el comportamiento de los grupos. A veces, para ello, elaboran gráficos (en el sentido de la teoría de los gráficos, no en el de la representación de funciones) en los que cada vértice representa a un individuo o a un grupo concreto. Las aristas entre los individuos pueden tener un peso y una dirección (o quizás una bidirección) que representa la influencia o el dominio (no estoy del todo seguro de cómo se hace esto, pero sé que es así; supongo que habría que preguntar a un sociólogo). Entonces se pueden hacer matrices de adyacencia (una matriz que refleja qué individuos afectan a qué individuos) y hacer cosas divertidas con ellas: elevarlas al cuadrado mostrará qué individuos tienen una larga influencia en el grupo. Si se eleva al cubo, se verá que la influencia es aún mayor, etc. El concepto subyacente aquí es que las redes a menudo pueden modelarse con mis gráficos, y la teoría de los gráficos puede utilizar mucho álgebra lineal. Así que las redes de comunicación, los circuitos eléctricos, incluso las redes terroristas (imagen de abajo) a menudo pueden ser examinadas con álgebra lineal. Quiero señalar que en la red de la imagen de abajo, cuando se calculan las potencias de la matriz de adyacencia, todas las influencias de los individuos, excepto 10, se extinguen casi inmediatamente. Pero estos 10 son todos relativamente iguales en influencia, por lo que esto se llama una red no centralizada.

Si has leído hasta aquí, estoy orgulloso. Esto es mucho más largo de lo que había previsto. Pero así va. La última idea que quiero mencionar es que el álgebra lineal no se limita a los resultados básicos. Espero haber dado esa impresión, pero aquí hay una más. Hay una papel que explica cómo derivar las transformaciones de Lorentz con álgebra lineal. Como la mayoría de la física, es una aproximación. Creo que el artículo es interesante para aquellos que sólo tienen una familiaridad básica con el álgebra lineal, aunque algunas cosas pueden parecer un poco místicas.

En cualquier caso, espero que le haya resultado interesante.

Answer 2

Otra idea es observar la naturaleza estadísticamente. Si quieres describir el efecto conjunto de varias fuerzas/influencias sobre algún efecto medible, donde cada parte de tu observación y tu modelo teórico se cuantifica con una métrica de números reales - entonces la descomposición en las partes de cada influencia se hace muy naturalmente por medio del álgebra lineal. Por ejemplo, la regresión múltiple, el análisis factorial y la correlación canónica son casos en los que dicho modelo se considera básicamente explicativo de las "influencias"/fuerzas combinadas.
Bueno, es discutible, si el "álgebra lineal ocurre en la naturaleza" de esta manera- el álgebra lineal es sólo una forma de analizar la naturaleza observada (en la medida en que tengamos modelos matemáticos de sus interrelaciones)

Answer 3

Una breve descripción de la Teoría de la Información Cuántica es el estudio de los operadores unitarios y afines en los productos tensoriales de los espacios de Hilbert (espacios completos de producto interno). Esto no se debe, como indica incorrectamente Scott Carter en los comentarios, a que la mecánica cuántica sea sólo una aproximación lineal. (Es cierto que el modelo estándar de la teoría cuántica de campos no se entiende de forma rigurosa en un sentido no perturbador, pero eso es un problema de análisis matemático que no está relacionado con el marco básico de todas las teorías de este tipo que postulan los axiomas de Wightman). Una buena introducción a este tema son los apuntes del curso de John Preskill de la clase de computación cuántica en Caltech. (Si te interesa, haz una búsqueda en Google de preskill notes physics 219).

Answer 4

Dondequiera que aparezcan ecuaciones diferenciales o fenómenos caóticos, aparece el álgebra lineal en la naturaleza, Be. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial lineal, ordinaria o parcial, de cualquier tipo, forman un espacio vectorial sobre los números reales o complejos. Esto significa que el álgebra lineal aparece en la mayoría de las aplicaciones de las matemáticas a las ciencias físicas, pero en realidad es más profundo que eso. Resulta que, en principio, cualquier sistema de ecuaciones diferenciales no lineales asintóticamente estables puede aproximarse a una zona cercana a su solución mediante la solución de una ecuación lineal. Esto significa que el álgebra lineal está presente en algún momento del proceso de solución de prácticamente cualquier sistema modelado por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. Esto es de especial interés para un informático, ya que se han desarrollado muchos algoritmos innovadores para generar la precisión de la aproximación que logran los superordenadores actuales.

Answer 5

Depende de lo que se entienda por "naturaleza". En el nivel más fundamental, la mecánica cuántica es todo álgebra lineal.