La desigualdad olímpica: ¿es este razonamiento?

Question

Estoy tratando de mostrar que, para $a,b,c>0,\;abc=1:$

$$\underbrace{\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)}}_{X}\geq \frac{3}{2}$$

Este problema es de la Zhautykov Olimpiada de 2008.

Intento:

Si $X\geq \frac{3}{2}$ está satisfecho para todos los $a,b,c$ la satisfacción de las condiciones iniciales, a continuación, dejando $a\mapsto b$$b\mapsto a$, la siguiente desigualdad deben ser satisfechas:

$$\underbrace{\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}}_{Y}\geq\frac{3}{2}$$

El razonamiento puede ser revertido, lo $X\geq\frac{3}{2}\iff Y\geq\frac{3}{2}$. Ahora, en cualquier caso:

$$X+Y=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^2}}=3$$

Por AM-GM. Por lo tanto cualquiera de las $X\geq \frac{3}{2}$ o $Y\geq \frac{3}{2}$ es verdadero, y por lo tanto son ambas verdaderas.

Es esta lógica válida? Parece demasiado fácil.

Answer 1

Escribe como $X$. Entonces $X=f(a,b,c)$. Lo que usted está diciendo primero es$Y=f(b,a,c)$ $ que es bastante correcto.

Entonces lo que muestra es$${\rm if}\;\; \left(\forall a,b,c\;:\; f(a,b,c)\geq\frac32\right)\;\;{\rm then}\;\; \left(\forall a,b,c\;:\; f(b,a,c)\geq \frac 32\right) $ $

Pero aquí tienes problemas: uno no puede intercambiar el$$\forall a,b,c\;:\; \left( f(a,b,c)\geq\frac32\;\;{\rm or}\;\; f(b,a,c)\geq\frac32\right) $ y el "o" sin más información.

Answer 2

No, tu razonamiento es incorrecto. La desigualdad

Abc = 1 \ tierra X (a, b, c) \ ge \ frac {3} {2}$$X+Y \geq 3$ (a , B, c)% (%)% Y (a, b, c) \ ge \ frac {3} {2} A, b, c) \ ge \ frac {3} {2} (a, b, c) } {%}% {X} {a, b, c} \ ge \ frac {3} {2}