Explicación de un producto cruzado

Question

En mi libro el resultado $$(u\times v)\cdot(x\times y)=\begin{vmatrix} u\cdot x & v\cdot x \\u \cdot y & v \cdot y\end{vmatrix},$$ where u, v, x and y are arbitrary vectors, is stated (here '$\cdot$' means the dot product and '$\times$' es el producto cruzado). El libro, muy brevemente, dice que esto se puede hacer fácilmente mediante la observación de que ambos lados están lineal de u, v, x y y.

Yo sé que si me ampliar y simplemente la LHS, utilizando los componentes de un vector el resultado será true. Sin embargo, yo realmente no entiendo lo que quiere decir cuando dice el libro 'los dos lados es lineal en u, v, x y y' y cómo al darse cuenta de este hecho, hace que esta relación sea más fácil de probar.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Esto significa que puede verificar la relación usando la base estándar$\{e_1, e_2, e_3 \}$ del espacio tridimensional. Por ejemplo, debe comprobar$(e_1 \times e_2)\cdot (e_2 \times e_3) =0$ que es el mismo que el lado derecho.

Answer 2

Supongamos que tenemos dos funciones lineales, $f$$g$, que de acuerdo sobre todos los vectores de la base de algún espacio. A continuación, deben estar de acuerdo para cada vector en el espacio, debido a que ambos son lineales, y una función lineal es completamente determinada por sus valores en la base.

En detalle sangriento, supongamos que sabemos que $f(\vec{e_i}) = g(\vec{e_i})$ para cada base de vectores $\vec{e_i}$.

Considere algunas de vectores $\vec v$. Podemos expresar $\vec v$ una combinación lineal de los vectores de la base, digamos como $$\vec v = c_1\vec{e_1} + \cdots + c_n\vec{e_n}.$$, sabemos que $$\begin{align} f(\vec v) & = f(c_1\vec{e_1} + \cdots + c_n\vec{e_n}) \\ & = c_1f(\vec{e_1}) + \cdots + c_nf(\vec{e_n}) & \text{(linearity of %#%#%)} \\ & = c_1g(\vec{e_1}) + \cdots + c_ng(\vec{e_n}) & \text{(%#%#% for basis vectors)} \\ & = g(c_1\vec{e_1} + \cdots + c_n\vec{e_n}) & \text{(linearity of %#%#%)}\\ & = g(\vec v) \end{align} $$

Uno puede igualmente muestran un hecho análogo para funciones de varias variables. Por ejemplo, si $f$ $f=g$ son funciones lineales de $g$$f(u,v,x,y)$, y si ellos están de acuerdo en todas las combinaciones de los vectores de la base para poco espacio, entonces los que están de acuerdo todos los vectores en el espacio.

Ahora tome $g(u,v,x,y)$$u, v, x,$. Estos son fáciles de ver a ser lineal, o de fácil mostrar que ser lineal si no la ves, usando las propiedades de la cruz y de punto productos (por $y$) y de los determinantes y los productos de puntos (para $f(u,v,x,y) = (u\times v)\cdot(x\times y)$). Así que si usted puede demostrar que son iguales al $g(u,v,x,y) =\begin{vmatrix} u\cdot x & v\cdot x \\u \cdot y & v \cdot y\end{vmatrix}$ $f$ son vectores de la base, de que se hacen. Y para la mayoría de las opciones de base de vectores como argumentos, ambos lados son iguales a cero, por lo que esta es rápido para verificar.