Justificación del "determinante" de la segunda forma fundamental mediante la definición de curvatura seccional

Question

Pregunta: si $M\subseteq \widetilde{M}$ es una hipersuperficie no degenerada en una variedad pseudo-riemanniana $M$ Entonces, ¿es cierto que $$\langle X, \widetilde{\nabla}_XN\rangle =\langle Y, \widetilde{\nabla}_YN\rangle $$ para todos $X,Y$ tangente a $M$ , donde $N$ es una unidad normal a $M$ ?

Contexto: Hoy he visto en clase la definición de curvatura seccional y he pensado que podría comprobar como ejercicio autopropuesto que la curvatura gaussiana de una superficie no degenerada en el espacio de Minkowski viene dada realmente por el "determinante" $$K = \frac{\langle {\rm II}(X,X), {\rm II}(Y,Y) \rangle - \langle {\rm II}(X,Y), {\rm II}(Y,X)\rangle }{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2},$$ como en la página $118$ de Kühnel Curvas, superficies y colectores libro, donde ${\rm II}$ es la segunda forma fundamental vectorial y $X$ y $Y$ forman una base del plano tangente a la superficie. Esto siempre me ha molestado, así que vamos a ello.

Supongamos que $M$ es una submanifolda no degenerada de una manifolda pseudo-riemanniana $\widetilde{M}$ (con métrica inducida), con conexiones Levi-Civita $\nabla$ y $\widetilde{\nabla}$ . Entonces $$\nabla_XY = \widetilde{\nabla}_XY - {\rm II}(X,Y),$$ donde ${\rm II}$ es la segunda forma fundamental, normal a $M$ . Los términos en azul abajo son normales, por lo que mueren en el proceso. Genial, entonces $$\begin{align} K^\nabla_{{\rm span}(X,Y)} &= \frac{\langle R^\nabla(X,Y)Y,X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2} \\ &= \frac{\langle \nabla_X\nabla_YY - \nabla_Y\nabla_XY - \nabla_{[X,Y]}Y,X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2} \\ &= \frac{\langle \widetilde{\nabla}_X\nabla_YY - \color{blue}{{\rm II}(X,\nabla_YY)} - \widetilde{\nabla}_Y\nabla_XY + \color{blue}{{\rm II}(Y,\nabla_XY)} - \widetilde{\nabla}_{[X,Y]}Y+\color{blue}{{\rm II}([X,Y],Y)},X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2} \\ &= \frac{\langle \widetilde{\nabla}_X\nabla_YY - \widetilde{\nabla}_Y\nabla_XY - \widetilde{\nabla}_{[X,Y]}Y,X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2} \\ &= \frac{\langle \widetilde{\nabla}_X\widetilde{\nabla}_YY - \widetilde{\nabla}_X({\rm II}(Y,Y)) - \widetilde{\nabla}_Y\widetilde{\nabla}_XY +\widetilde{\nabla}_Y({\rm II}(X,Y)) - \widetilde{\nabla}_{[X,Y]}Y,X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2} \\ &\color{darkred}{\stackrel{!!!}{=}\frac{\langle R^\widetilde{\nabla}(X,Y)Y+ \widetilde{\nabla}_Y({\rm II}(X,Y)) - \widetilde{\nabla}_X({\rm II}(X,X)), X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2}}\\ &= K^\widetilde{\nabla}_{{\rm span}(X,Y)}+ \frac{\langle \widetilde{\nabla}_Y({\rm II}(X,Y)) - \widetilde{\nabla}_X({\rm II}(X,X)),X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2}\end{align}$$ Esto parece agradable en general, así que ahora asume $\widetilde{M} = \Bbb R^3_1$ (por lo tanto $K^\widetilde{\nabla}_{{\rm span}(X,Y)}=0$ ) y que $M$ es una superficie. Si $\epsilon = \langle N,N\rangle$ , donde $N$ es un campo normal unitario (por tanto no luminoso) a $M$ tenemos que $${\rm II}(X,Y) = -\epsilon \langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle N.$$

Descartando los componentes normales, tenemos: $$\begin{align} \langle \widetilde{\nabla}_Y({\rm II}(X,Y)) - \widetilde{\nabla}_X({\rm II}(X,X)),X\rangle &= \langle \widetilde{\nabla}_Y(-\epsilon \langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle N) - \widetilde{\nabla}_X(-\epsilon \langle X, \widetilde{\nabla}_XN\rangle N),X\rangle \\ &= \epsilon \left( \langle X, \widetilde{\nabla}_XN\rangle \color{red}{\langle X, \widetilde{\nabla}_XN\rangle} - \langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle\langle X, \widetilde{\nabla}_YN\rangle\right). \end{align}$$ Por otro lado: $$\begin{align} \langle {\rm II}(X,X), {\rm II}(Y,Y) \rangle - \langle {\rm II}(X,Y), {\rm II}(Y,X)\rangle &= \langle \langle X, \widetilde{\nabla}_XN\rangle N, \langle Y, \widetilde{\nabla}_YN\rangle N \rangle - \langle \langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle N, \langle X, \widetilde{\nabla}_YN\rangle N\rangle \\ &= \epsilon \left( \langle X, \widetilde{\nabla}_XN\rangle \color{red}{\langle Y, \widetilde{\nabla}_YN\rangle} - \langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle\langle X, \widetilde{\nabla}_YN\rangle \right)\end{align}$$

¿Me he equivocado en alguna parte al final, o tenemos $\langle X, \widetilde{\nabla}_XN\rangle =\langle Y, \widetilde{\nabla}_YN\rangle $ ?

Answer 1

Como ha señalado Anthony en los comentarios, he cambiado $\widetilde{\nabla}_X({\rm II}(Y,Y))$ a $\widetilde{\nabla}_X({\rm II}(X,X))$ sin darse cuenta. Indicaré el error en la pregunta original en $\color{darkred}{\mbox{red/brown}}$ . Aquí va la derecha:

$$\begin{align*} K^\nabla_{{\rm span}(X,Y)} &= \frac{\langle R^\widetilde{\nabla}(X,Y)Y+ \widetilde{\nabla}_Y({\rm II}(X,Y)) - \widetilde{\nabla}_X({\rm II}(Y,Y)), X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2} \\ &= K^\widetilde{\nabla}_{{\rm span}(X,Y)}+ \frac{\langle \widetilde{\nabla}_Y({\rm II}(X,Y)) - \widetilde{\nabla}_X({\rm II}(Y,Y)),X\rangle}{\langle X,X\rangle\langle Y,Y \rangle - \langle X,Y \rangle^2}. \end{align*}$$ Ahora utilizamos la expresión ${\rm II}(X,Y) = -\epsilon \langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle N$ para conseguir $$\begin{align}\langle \widetilde{\nabla}_Y({\rm II}(X,Y)) - \widetilde{\nabla}_X({\rm II}(Y,Y)),X\rangle &= \langle \widetilde{\nabla}_Y(-\epsilon\langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle N) - \widetilde{\nabla}_X(-\epsilon\langle Y, \widetilde{\nabla}_YN\rangle N),X\rangle \\ &= \epsilon \left( \langle Y, \widetilde{\nabla}_YN\rangle\langle \widetilde{\nabla}_XN,X\rangle - \langle Y, \widetilde{\nabla}_XN\rangle\langle \widetilde{\nabla}_YN,X\rangle\right),\end{align}$$ como se busca. El cálculo es válido para hipersuperficies en espacios pseudoeuclidianos $\Bbb R^n_\nu$ de firma arbitraria.