Si $e^\lambda$ es un valor propio de $e^A$, entonces $\lambda$ es un valor propio de $A$

Question

Que $A$ ser una matriz de $n\times n$. Quiero demostrar que si $e^\lambda$ es un valor propio de $e^A$ y $\lambda$ es un valor propio de $A$.

Sé lo contrario es cierto, pero no estoy seguro de cómo ir al revés. Nuestra hipótesis parece ser la comparación serie de energía, que parece más difícil de trabajar con.

¡Gracias!

Answer 1

Como dice Omnomnomnom, sólo puede probar que $\lambda+2i\pi k$ es un valor propio $k\in\mathbb{Z}$. Esto sigue inmediatamente del hecho útil siguiente:

Que $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ denotan los valores propios (complejos!) de una matriz $A$. Entonces los valores propios (complejos!) de $e^A$ están $e^{\lambda_1},\ldots,e^{\lambda_k}$. (Esto puede probarse usando el teorema de Jordan).