Soluciones del número entero de $x^2+5y^2=231^2$

Question

Yo wanr para encontrar el entero de las soluciones de la ecuación $$x^2+5y^2=231^2.$$

Mi intento (un esbozo): podemos utilizar la única factorización de los ideales de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. De hecho, tenemos $231=3\cdot 7\cdot 11$. Uno puede fácilmente demostrar que $3$ $7$ split en el producto de dos primos conjugar los ideales de cada uno, decir $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ donde$(3)=\mathfrak{p}\overline{\mathfrak{p}}$$(7)=\mathfrak{q}\overline{\mathfrak{q}}$; mientras que $11$ permanece inerte, es decir, $(11)=\mathfrak{r}$ para algunos auto-congugate primer ideal $\mathfrak{r}$. Entonces uno ha $(x+y\sqrt{-5})(x-y\sqrt{-5})= \mathfrak{p}^2\overline{\mathfrak{p}}^2 \mathfrak{q}^2\overline{\mathfrak{q}}^2 \mathfrak{r}^2$. Desde $(x+y\sqrt{-5})$ $(x-y\sqrt{-5})$ son conjugado, podemos deducir que $(x+y\sqrt{-5})= \mathfrak{p} \overline{\mathfrak{p}}\mathfrak{q} \overline{\mathfrak{q}} \mathfrak{r}=(3)(7)(11)=(231)$. Por lo tanto el único entero soluciones son $x=231,y=0$, $x=-231,y=0$.

Es esto correcto, o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Si $x^2+5y^2=z^2$ $(x,y,z)=1$ $x,y,z$ son parejas coprime y $5y^2=(z+x)(z-x)$. Se Divide en cuatro casos:

$z\equiv x \pmod 2$, $5|z+x$

$$\left(\frac y2\right)^2=\frac{z+x}{10}\frac{z-x}2$$

Si el producto de coprime cuadrados es un cuadrado, entonces ambos son cuadrados. Vamos $z+x=10b^2$, $z-x=2b^2$. Entonces $z=5a^2+b^2$, $x=5a^2-b^2$ y $y=2ab$.

$z\equiv x \pmod 2$, $5|z-x$

Este caso es el mismo que el anterior.

$z\equiv x+1 \pmod 2$, $5|z+x$

$$y^2=\frac{z+x}5(z-x)$$

La aplicación de la misma sustitución de encontrar $z=\frac{a^2+5b^2}2$, $x=\frac{a^2-5b^2}2$ y $y=ab$.

$z\equiv x+1 \pmod 2$, $5|z-x$

Este vino es el mismo que el anterior.

Lo que significa que si $z^2$ es de la forma $x^2+5y^2$ para coprime enteros $x,y$, $z$ o $2z$ son demasiado.

De vuelta al problema, si $(x,y)=d$$x^2+5y^2=231^2=3^27^211^2$$\left(\frac xd\right)^2+5\left(\frac yd\right)^2=\left(\frac{231}d\right)^2$, entonces las soluciones a $a^2+5b^2=\frac{231}d$ $a^2+5b^2=\frac{462}d$ sobre todos los 8 posibles valores de $d$ va a generar todos los posibles pares de $x,y$.