$\def\sp{\mathrm{Sym}^+}$Deje $\sp \subset GL(n,\mathbb R)$ denotar el colector de positivo-definida simétrica $n \times n$ matrices. Estoy interesado en las funciones de $A : \sp \to \sp$ que son equivariant en virtud de la natural de la conjugación de la acción de $O(n)$; es decir, tales que$$A(R^T X R) = R^T A(X) R$$ for all $X \in \sp, R \en O(n)$. By choosing $R \en O(n)$ to diagonalize $X$ and then letting $R$ range over reflection and permutation matrices, one can characterize these $Un$ as exactly those of the form $$A(X) = \sum_{k=1}^n a(\lambda_k; \lambda_1, \ldots, \widehat{\lambda_k}, \ldots, \lambda_n)e_k \otimes e_k$$ where $\lambda_k>0$ are the (repeated) eigenvalues of $X$ with corresponding (orthonormal) eigenvectors $e_k$ and $una : (0,\infty)^n \a (0,\infty)$ is symmetric in its last $n-1$ arguments. (The $\widehat \lambda_k$ denota omisión.)
Desde $a(\lambda_1;\lambda_2,\ldots,\lambda_n) = A^{11}(\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n))$, sabemos que $A \in C^\infty \implies a \in C^\infty$. Mi pregunta es:
No a la inversa; es decir, si $a$ es suave, podemos concluir que el $A$ es suave?
En el problema análogo para $O(n)$-invariante mapas de $A : \sp \to \mathbb R$ (que se reducen a simétrica funciones de $a : (0,\infty)^n \to \mathbb R$ de los autovalores), se puede resolver este problema utilizando Glaeser del "diferenciable del teorema de Newton" - nos encontramos con que un suave simétrica de la función de los autovalores es una función suave de la matriz simétrica de invariantes, que son a su vez las funciones lisas de la propia matriz. Sin embargo, estoy seguro de cómo la transferencia de este tipo de idea a la matriz de valores de configuración - todo lo que puedo encontrar son las referencias acerca de las invariantes escalares (por ejemplo, Schwarz es una buena generalización de Glaeser del resultado, pero todavía no, obviamente, de uso para mí). Supongo que mi problema es que no sé cómo retener cualquier regularidad cuando los materiales de embalaje, los autovalores de vuelta en", ya que los subespacios propios no son lisas, las funciones de la matriz.
Supongo que una manera de pensar en esto es como una generalización del cálculo funcional - si nos restringimos a $a$ que sólo dependen de su primer argumento, entonces (por lo que yo entiendo) funcional cálculo es exactamente el de la construcción de la $A$$a$.
Algunos avances: he logrado probar que el polinomio versión por encontrar una relación de recurrencia de equivariant matrices que induce Newton identidades en los valores propios:
Si $a : (0,\infty)^n \to (0,\infty)$ es un polinomio simétrico en su última $n-1$ argumentos, luego de la salida de los componentes de la correspondiente mapa de $A : \sp \to \sp$ son polinomios en los componentes de entrada.
Sin embargo, en retrospectiva, no estoy seguro de si esto ayuda a todos en la consecución de la versión suave. Cualquier entrada de alguien más familiarizado con este tipo de cosas, sería muy apreciado - mi representación/invariantes/????? la teoría de fondo es insuficiente.
