Notación matemática $\max$ con un ejemplo sencillo para no matemático

Question

En primer lugar, permítanme empezar diciendo que yo no soy un matemático, así que voy a necesitar este me explicó en una bastante básico, nivel intuitivo. Me he tomado el Cálculo, pero hace algún tiempo así que tengo algo de experiencia en las matemáticas.

Estaba leyendo un libro esta noche y había una sección en el minimax principio en la teoría de juegos. Hubo algunas anotaciones en el libro que no sé lo que significa. Puede alguien explicar, en palabras, lo que algo como la siguiente significaría?

$\underset{\theta\in\Theta}{\max}R_{T}(\theta)$

¿Significa esto que el valor de theta en el espacio de parámetros que maximizan la función de $R_T(\theta)?$ Podría proporcionar un ejemplo sencillo?

Entonces, en el contexto completo, el libro dice que T es el minimax si:

$\underset{T_{1}}{\min}\,\underset{\theta\in\Theta}{\max}R_{T_{1}}(\theta)$

Gracias.

Answer 1

$$\max_{x \in X} f(x)$$ is the notation we use for "the maximum value of $f(x)$ when $x$ is allowed to vary throughout the set $X$".

Por ejemplo, $$\max_{x \in \{1,2,3\}} x = 3$ $ $$\max_{x \in \{1,2,3\}} \frac{5}{x} = 5$ $ $$\max_{\theta \in \mathbb{R}} \sin(\theta) = 1$ $

Answer 2

La notación $\max_{x \in X}f(x)$ significa que el número de $\max \{ f(x) | x \in X \}$. Igualmente, se ha $\min_{x \in X}f(x) = \min \{ f(x)| x \in X \}$.

Si desea indicar un punto de $y$ a que $f$ llega a su extremo, el uso de $\arg \max _{x \in X}f(x)$ o $\arg \min_{x \in X}f(x)$ respectivamente.

La notación $\min_{t \in T}\max_{x \in X}f_{t\in T}(x)$ simplemente significa que el número de $\min \{ \max_{x \in X}f_{t}(x) | t \in T \}$; intuitivamente, en primer lugar, encontrar el máximo para cada una de las $t \in T$ y, a continuación, encontrar el mínimo de los máximos de estos $f_{t}$.

Tenga en cuenta que supremum y infimum son una generalización de máximo y mínimo, respectivamente. Si $f$ es continua y si $X$ es compacto, se puede demostrar que $\sup f(X)$ $\inf f(X)$ funcional son los valores de $f$ en algún lugar de $X$; en este caso tenemos a$\sup f(X) = \max f(X)$$\inf f(X) = \min f(X)$.

Answer 3

$$\max_{\theta\in\Theta}R_T(\theta)$$means the maximum value that $ R_T (\theta) $ can take as $\theta$ varies over all possible values in $\Theta$. This quantity is still dependent on $T$, and its least value for all possible values of $T$ is $$\min_{T}\max_{\theta\in\Theta}R_T(\theta).$$ Here the possible values for $T$ are assumed to be understood, and not made explicit. Also, the meaning is the same if the letter $T$ is replaced by $T_1$ o algún otro símbolo apropiado.

Answer 4

Para la primera pregunta, que podría ser la intención del autor para referirse al valor del parámetro que se obtiene el máximo, pero esto sería incorrecto. Estrictamente, la expresión se refiere al valor de la función en el máximo. Uno debe usar argmax ser explícito si nos referimos al parámetro.

Para la segunda expresión, en efecto, tenemos en cuenta todos los posibles $T$, para cada uno de ellos, determinar el $\theta$ que maximiza R, entonces, de todos los $T$ se identifica con el que minimiza R.