¿Por qué seleccionamos el tensor métrico para subir y bajar índices?

Question

¿Cualquier tensor de rango 2 haría el mismo truco, derecho?

Entonces, ¿cuál es la motivación para la elección de la métrica de uno?

También, si usted me ayude para probar que $g^{kp}g_{ip}=\delta^k_i$, estaría agradecido demasiado ^^

Answer 1

Se trata de un convenio de$^1$. Si una teoría tiene un distinguido invertible rango-2 tensor, ¿por qué no usarlo? Ejemplos:

1. La métrica $g_{\mu\nu}$ en GR.
2. El $\epsilon_{\alpha\beta}$ métrica para subir y bajar Weyl spinor índices.
3. El simpléctica 2-formulario de $\omega_{IJ}$ en geometría simpléctica.

Si hay más de un distinguido invertible rango-2 tensor, uno tendría que hacer una elección. E. g. bi-métrica GR, etc.

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$^1$Más formalmente, la noción de "subir y bajar los índices de" refleja el musical de isomorfismo. Véase también por ejemplo, este Phys.SE post y los enlaces en el mismo.

Answer 2

Para tener una buena noción de "subir y bajar los índices", usted necesita tener un no-degenerada 2-tensor. Si no lo es no degenerada, usted podría enviar a $v^\mu$$v_\mu=0$, en cuyo caso no se puede decir que "reducir el índice y, a continuación, elevar copia de seguridad" es como no hacer nada. Ser capaz de hacer eso es de vital importancia. Una de Riemann colector viene, por definición, equipado con un no-degenerado (simétrica) bilineal forma, así que hay una elección canónica de la noción de subida y bajada de los índices.

Si el colector está garantizado para llevar a otros no degenerada 2-tensores, entonces usted puede utilizarlas para subir y bajar los índices (aunque el significado es diferente de la de subir y bajar con la métrica). Este es el caso, por ejemplo, si el colector es simpléctica (es decir, lleva un sistema cerrado, no degenerada 2-formulario de $\omega$).

Answer 3

El tensor métrico se define por su capacidad para subir y bajar los índices. Tomar un número finito de dimensiones de los vectores de espacio,$V$,$\operatorname{dim}\{V\} = N$. Dado que de otro espacio, $W$, con dimensión de $M$ puedes construir el espacio de lineal mapas entre esos espacios. Llamamos a los elementos del espacio del lineal mapas de matrices, y en este ejemplo, se forma un espacio vectorial que tiene $\operatorname{dim}\{L : V\rightarrow W\} = N\times M$.

Si el objetivo del espacio tiene dimensión $1$ (es decir, el mapa de $V$ a los escalares) a continuación, el espacio de los mapas tiene dimensiones de la $N$. Como hemos aprendido de álgebra lineal, cualquiera de los dos finito dimensionales espacios con la misma dimensionalidad son isomorfos. Por lo tanto, podemos construir una isomorfo mapa (es decir, un mapa que es de 1 a 1 y cubre el espacio de destino) de la $V$$L$. El mapa de $V$ $L$es llamada la métrica.

En otras palabras, cuando el índice es, el vector es de $V$, cuando la de abajo es de $L$ (a menudo llamado el doble espacio).

Invertability lado, también podemos escoger las métricas a tener otras propiedades que deseamos. En particular, queremos que los escalares producido por $g(v_1) v_2$ a ser invariantes bajo un conjunto de transformaciones (generalmente de rotaciones o transformaciones de Lorenz). Esto es lo que limita la métrica de la firma (patrón de los signos de los autovalores).

Además, no hay ninguna prueba de que $g^{\mu \nu} g_{\nu \alpha} = \delta^\mu_{\hphantom{\mu}\alpha}$ debido a que es la definición de la inversa de la métrica (el mapa de$L$$V$, a diferencia de la otra manera).

Answer 4

El uso de la métrica de tensor de esta manera las cuentas para la representación de Riesz teorema en un no-ortogonal.

La representación de Riesz teorema establece una correspondencia entre los funcionales lineales y vectores mediante la asociación de un funcional lineal con el vector que es normal a nivel de conjuntos. La contratación con el tensor métrico calcula este vector normal.

Lo que significa para un vector a ser "normal" para un hyperplane depende de la métrica, por lo que si va a reemplazar el tensor métrico con otra forma bilineal, usted será calcular el vector que es "perpendicular" en diferentes métricas.

Answer 5

Otra manera de ver esto es con $1$-de las formas y de los vectores. Dado el vector base $\frac{\partial}{\partial x^a}$ e las $1$forma ${\bf\omega}^b$ doble si $$ {\bf\omega}^b\left(\frac{\partial}{\partial x^a}\right)~=~\delta_a^b. $$ La métrica como los cambios covariante de índices para contravariat índices, el uso de un poco mayor definición, significa que con el vector $X_a$ que $$ g_{ab}~=~g(X_a,~X_b), $$ y en un doble sentido que $$ g^{ab}~=~g({\bf\omega}^a\otimes{\bf\omega}^b), $$ aquí como una simétrica producto. El papel de la métrica tensor en la elevación y descenso de los índices está ligada a la del dualismo entre los vectores y formas.