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¿Cuándo la irreducibilidad de un polinomio sobre un campo equivale a no tener raíces en él?

¿Cuándo la irreducibilidad de un polinomio sobre un campo equivale a no tener raíces en él?

Aparte, por supuesto, de los casos sencillos en los que un polinomio fK[x]fK[x] es de grado menor o igual que tres. Una dirección está clara: si un polinomio es irreducible en KK no puede tener raíces. Pero lo contrario es mucho más extraño. Así que planteo:

  • ¿Qué condiciones hay que poner? ff ¿para que esto ocurra?
  • ¿Cómo funciona la información sobre KK alterar esto?

No sé ni por dónde empezar. Enlaces a cualquier investigación realizada en esta área también es apreciada :) ¡Gracias, chicos!

6voto

Nir Puntos 136

He aquí dos resultados (que se encuentran en Lang's Álgebra por ejemplo):

  1. Sea kk sea un campo de cualquier característica 00 y pp an impar número primo ( no supuestamente igual a charkchark ) Si xpak(x)xpak(x) no tiene raíz en kk entonces es irreducible y, más fuertemente, también xpnaxpna es irreducible sobre kk para todo enteros n0n0 (Capelli).
  2. Sobre un campo kk de característica p>0p>0 t f(x)=xpxak[x]f(x)=xpxak[x] es irreducible si y sólo si no tiene raíz en kk (Artin-Schreyer).

3voto

Nir Puntos 136

No se trata de una respuesta en sentido estricto, sino de un resultado muy relacionado con su pregunta.

Sea kk sea un campo y sea f(x)k[x]kf(x)k[x]k sea un polinomio de grado n>0n>0 . Tenemos la equivalencia:

f(x)f(x) irreducible sobre k Para cualquier ampliación kK de grado n/2 , f(x) no tiene raíz en K .

Prueba de ⟹:
Cualquier campo K en el que f(x) tiene una raíz contiene una copia de k[x]/(f(x)) y tiene por tanto el grado n
Prueba de ⟸:
Si f(x) fuera reducible uno de sus factores irreducibles g(x) tendría grado deg(g(x))n/2 y, por tanto, la extensión K:=k[x]/(g(x)) contendría una raíz de g(x) y a fortiori una raíz de f(x) contradiciendo la hipótesis.

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