¿Cuándo la irreducibilidad de un polinomio sobre un campo equivale a no tener raíces en él?

Question

¿Cuándo la irreducibilidad de un polinomio sobre un campo equivale a no tener raíces en él?

Aparte, por supuesto, de los casos sencillos en los que un polinomio $f \in K[x]$ es de grado menor o igual que tres. Una dirección está clara: si un polinomio es irreducible en $K$ no puede tener raíces. Pero lo contrario es mucho más extraño. Así que planteo:

• ¿Qué condiciones hay que poner? $f$ ¿para que esto ocurra?
• ¿Cómo funciona la información sobre $K$ alterar esto?

No sé ni por dónde empezar. Enlaces a cualquier investigación realizada en esta área también es apreciada :) ¡Gracias, chicos!

Answer 1

He aquí dos resultados (que se encuentran en Lang's Álgebra por ejemplo):

1. Sea $k$ sea un campo de cualquier característica $\geq 0$ y $p$ an impar número primo ( no supuestamente igual a $\operatorname{char} k$ ) Si $x^p-a\in k(x)$ no tiene raíz en $k$ entonces es irreducible y, más fuertemente, también $x^{p^n}-a$ es irreducible sobre $k$ para todo enteros $n\geq 0$ (Capelli).
2. Sobre un campo $k$ de característica $p\gt0$ t $f(x)=x^p-x-a\in k[x]$ es irreducible si y sólo si no tiene raíz en $k$ (Artin-Schreyer).

Answer 2

No se trata de una respuesta en sentido estricto, sino de un resultado muy relacionado con su pregunta.

Sea $k$ sea un campo y sea $f(x)\in k[x]\setminus k$ sea un polinomio de grado $n\gt0$ . Tenemos la equivalencia:

$f(x)$ irreducible sobre $k\\$ $\iff$ Para cualquier ampliación $k\subset K$ de grado $\leq n/2$ , $f(x)$ no tiene raíz en $K$ .

Prueba de $\Longrightarrow:$
Cualquier campo $K$ en el que $f(x)$ tiene una raíz contiene una copia de $k[x]/(f(x))$ y tiene por tanto el grado $\geq n$
Prueba de $\Longleftarrow:$
Si $f(x)$ fuera reducible uno de sus factores irreducibles $g(x)$ tendría grado $deg(g(x))\leq n/2$ y, por tanto, la extensión $K:=k[x]/(g(x))$ contendría una raíz de $g(x)$ y a fortiori una raíz de $f(x)$ contradiciendo la hipótesis.