Forma fácil de memorizar valores de seno, coseno y tangente

Question

Mi profesora de matemáticas recientemente nos dijo que quería que pudiéramos responder $\sin\left(\frac{\pi }{2}\right)$ en nuestra cabeza al instante. Sé que simplemente puedo memorizar la tabla para el examen de este viernes, pero es probable que me olvide después del examen. ¿Hay algún truco o patrón que ustedes suelan usar para recordarlo? Por ejemplo, SOHCAHTOA nos dice lo que realmente significan el seno, coseno y tangente.

De lo contrario, simplemente memorizaré la tabla. Pero solo quería saber qué técnicas de memorización utilizan ustedes. Siento que este es el lugar perfecto para preguntar, porque apuesto a que mucha gente en la math stackexchange también tuvo que pasar por lo mismo en el primer año de la universidad.

Oh, aquí hay una imagen del círculo unitario:

Answer 1

Observa el patrón:

$$\sin 0^{\circ} = \frac{\sqrt{0}}{2}$$ $$\sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{1}}{2}$$ $$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin 90^{\circ} = \frac{\sqrt{4}}{2}$$

Esto es algo así como una coincidencia matemática según mi conocimiento, así que no intentes extender esto a otros ángulos; y va al revés para $\cos$. Una vez que tengas estos, puedes encontrar los otros ángulos que desees dibujándolos en el círculo unitario y descubriendo si los valores deben ser positivos o negativos, si deben ser $0$ o $1$, o de otra manera si son "pequeños" ($\frac{1}{2}$), "medianos" ($\frac{\sqrt{2}}{2}$) o "grandes" ($\frac{\sqrt{3}}{2}$).

Answer 2

El coseno va horizontalmente (desde el eje y), el seno va verticalmente (desde el eje x).

Considerando los tres "puntos principales" en el círculo unitario, $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ (o $\frac \pi 6, \frac \pi 4, \frac \pi 3$ radianes)...

Desde cada eje,

• la distancia "larga" es $\frac {\sqrt3} 2$
• la distancia "media" es $\frac {\sqrt2} 2$
• la distancia "corta" es $\frac {1} 2$

Cuando te desplazas horizontalmente hacia la izquierda, el valor del coseno será negativo, y de manera similar para el valor del seno al moverte verticalmente hacia abajo.

El verde es el coseno, el rojo es el seno:

Answer 3

No esperaría que un estudiante memorizara las funciones trigonométricas de ángulos simples. (Yo mismo nunca las memoricé). Esperaría que un estudiante tuviera suficiente comprensión para poder calcularlas en segundos.

Las funciones trigonométricas para $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ se basan en dos figuras geométricas simples: el cuadrado y el triángulo equilátero.

El cuadrado tiene cuatro lados de longitud igual, que consideramos $1$. Tiene cuatro ángulos iguales de $90^\circ.$

Luego, corta el cuadrado por la diagonal, formando dos triángulos. Cualquiera de estos triángulos tiene ángulos de $90^\circ,45^\circ,45^\circ$; no es necesario memorizar $45$, simplemente divide $90$ entre $2$. El triángulo tiene dos lados de longitud $1$; si has memorizado el teorema de Pitágoras, puedes calcular que la longitud del tercer lado es $\sqrt2.$

Desafortunadamente, debes memorizar las definiciones del seno y tangente: $\sin=\text{opp }/\text{ hyp}$ y $\tan=\sin/\cos.$ El coseno es más fácil: cocomplementaria, entonces $\cos\theta=\sin(90^\circ-\theta).$

La idea es que puedes simplemente leer las funciones trigonométricas de $45^\circ$ del triángulo $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$: $\sin45^\circ=1/\sqrt2,\ $ $\cos45^\circ=\sin(90^\circ-45^\circ)=\sin45^\circ=1/\sqrt2,$ y $\tan45^\circ=\sin45^\circ/\cos45^\circ=(1/\sqrt2)/(1/\sqrt2)=1.$

Luego, toma un triángulo equilátero; cada uno de los tres lados tiene longitud $1,$ y cada uno de los tres ángulos es $60^\circ.$ (No es necesario memorizar $60,$ solo divide $180$ entre $3.$) Corta el triángulo equilátero por la mitad al bisectar un ángulo y mira uno de los triángulos resultantes. Los ángulos son $30^\circ,\ 60^\circ,$ y $90^\circ$; los lados son $1$ y $1/2$ y (si aún tienes memorizado a Pitágoras) $\sqrt3/2.$ De este triángulo puedes leer las funciones trigonométricas de $30^\circ$ y $60^\circ.$

Resumen ejecutivo. Toma los dos polígonos más simples, el triángulo equilátero y el cuadrado. Un bisector de ángulo divide cada una de esas figuras en dos triángulos rectángulos congruentes. Las funciones trigonométricas de $30^\circ,60^\circ,$ y $45^\circ$ se pueden leer en esos triángulos.

Answer 4

Si estás tan adelantado en matemáticas, entonces es posible que hayas encontrado el plano complejo. Al combinar los dos, ves que cos se refiera a la a y sin se refiere a la b en a+bi. Es decir:$$\cos(\theta)+i\sin(\theta)$$Curiosamente, así es como recuerdo mis valores. En particular, he pasado muchas horas investigando las raíces de la unidad, si estás interesado. Descubrirás que las raíces de la unidad se encuentran en este círculo y siguen la ecuación anterior.

Por ejemplo, la segunda raíz de $1$ es $1,-1$. $\theta=0,2\pi, 4\pi, 6\pi,\dots$ Tomar la segunda raíz es sacar la raíz cuadrada o dividir theta por 2. Si se hace así, entonces vemos que $\theta=0,\pi$. Al enchufarlo nuevamente en la ecuación anterior obtenemos $1+0i$ y $-1+0i$. Esto me recuerda que $\sin(0,\pi)=0$ (escribiendo $\sin(a,b)=c$ como abreviatura de $\sin(a)=\sin(b)=c$) Hacer, digamos, la duodécima raíz de uno equivale a la mayoría de las posiciones de tu círculo de la unidad.

Esta es una trigonometría algo avanzada que mi profesor nunca me enseñó (gracias a Dios, rezaban mis amigos), así que asumo que nunca aprenderás esto. Si lo haces, es un bonito... recordatorio.

También, es una de las únicas formas en las que puedes verificar si tu respuesta es correcta. Por ejemplo, si:$$\sqrt[3]{1}=\cos\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)$$entonces:$$1=\left(\cos\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)\right)^3$$ Si puedes usar el teorema de la expansión binomial a partir de ahí, tus suposiciones para cos y sin deberían funcionar y de hecho igualar a 1.

Answer 5

Recuerda que $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$. Por ejemplo, si solo recuerdas tus valores de $\sin$, entonces verás que $$\cos(\theta)=\sqrt{1-\sin^2(\theta)}$$Por ejemplo, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$

entonces... $$\cos(\frac{\pi}{2})=\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\sqrt{1-1^2}=\sqrt{0}=0$$

Por lo tanto, puedes encontrar $cos$ recordando $sin$ o viceversa.

En segundo lugar, recuerda que $$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

Incluso podrías simplificar esto aún más usando la fórmula anterior para obtener: $$\tan(\theta)=\frac{\sqrt{1-\cos^2(\theta)}}{\sqrt{\cos^2(\theta)}}=\sqrt{\frac 1{\cos^2(\theta)}-1}=\sqrt{\frac 1{1-\sin^2(\theta)}-1}$$

Usa una de las fórmulas anteriores para encontrar $\tan(\theta)$.

Luego tendrás que recordar las fórmulas y un conjunto de valores, digamos, para $\cos$.

Luego recuerda las siguientes reglas: seno es impar, coseno es par y tangente es impar. Esto significa que $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$, $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$, $\tan(-\theta)=-\tan(\theta)$.

Puedes intentar recordar en tu círculo unitario que $\sin$ es positivo de 0 a $\pi$ y negativo de $\pi$ a 2$\pi$. $\cos$ es positivo de $-\frac{3\pi}2$ a $\frac{\pi} 2$ y negativo de $\frac{\pi} 2$ a $\frac{3\pi} 2$